Завдання № 2.35. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Коло, вписане у трапецію, ділить точкою дотику бічну сторону на відрізки завдовжки $a\text{ см}$ і $b\text{ см}$. Знайдіть висоту трапеції.

Покроковий розв’язок:

1. Доведення прямокутності трикутника $AOB$
Нехай точка $O$ — центр кола, вписаного в трапецію $ABCD$ з основами $AD$ і $BC$ ($BC\parallel AD$).
Центр вписаного в многокутник кола лежить у точці перетину бісектрис його внутрішніх кутів. Отже, відрізок $AO$ є бісектрисою кута $\angle A$, а $BO$ — бісектрисою кута $\angle B$.

Оскільки прямі $AD$ та $BC$ паралельні, то внутрішні односторонні кути при січній $AB$ у сумі дають $180^{\circ }$:
$\angle A+\angle B=180^{\circ }$

Розглянемо суму кутів $\angle OAB$ і $\angle OBA$ у трикутнику $AOB$:
$\angle OAB+\angle OBA=\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}=\frac{\angle A+\angle B}{2}=\frac{180^{\circ }}{2}=90^{\circ }$

Тоді з теореми про суму кутів трикутника для $△AOB$ маємо:
$\angle AOB=180^{\circ }-(\angle OAB+\angle OBA)=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$
Отже, трикутник $AOB$ — прямокутний із прямим кутом $\angle AOB$.

2. Знаходження радіуса вписаного кола
Точка $M$ — точка дотику вписаного кола до бічної сторони $AB$. За властивістю дотичної до кола радіус $OM$, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної:
$OM\perp AB$

Таким чином, відрізок $OM$ є висотою прямокутного трикутника $AOB$, проведеною з вершини прямого кута до гіпотенузи $AB$.

За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу (відрізками $AM$ і $MB$):
$O{M}^2=AM\cdot MB$
$OM=\sqrt{AM\cdot MB}$

За умовою задачі $AM=a\text{ см}$ та $MB=b\text{ см}$, отже:
$r=OM=\sqrt{a\cdot b}\text{ см}$

3. Обчислення висоти трапеції
Висота трапеції, описаної навколо кола, дорівнює діаметру цього кола (тобто відстані між паралельними основами, яких коло торкається):
$h=2\cdot r=2\sqrt{ab}\text{ см}$

Відповідь:
$2\sqrt{ab}\text{ см}$