Завдання № 2.34. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, різниця яких дорівнює $2\text{ см}$. Знайдіть периметр трикутника, якщо дві інші його сторони дорівнюють $9\text{ см}$ і $6\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення відрізків сторони
Розглянемо $△ABC$, у якому $AB=6\text{ см}$, $BC=9\text{ см}$, а $BK$ — бісектриса кута $B$.
Оскільки сторона $BC>AB$, то за властивістю бісектриси більшій стороні відповідає більший відрізок протилежної сторони, тобто $KC>AK$.
За умовою задачі різниця цих відрізків дорівнює $2\text{ см}$, отже:
$KC-AK=2\text{ см}$
Нехай довжина відрізка $AK=x\text{ см}$, тоді $KC=(x+2)\text{ см}$.

2. Застосування властивості бісектриси трикутника
За теоремою про властивість бісектриси трикутника, бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам:
$\frac{AB}{BC}=\frac{AK}{KC}$

Підставимо у пропорцію числові значення та вирази через $x$:
$\frac{6}{9}=\frac{x}{x+2}$

Скоротимо дріб у лівій частині на $3$:
$\frac{2}{3}=\frac{x}{x+2}$

За основною властивістю пропорції (добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх):

Таким чином:
$AK=4\text{ см}$,
$KC=4+2=6\text{ см}$.

3. Знаходження сторони $AC$ та периметра трикутника
Обчислимо довжину сторони $AC$:
$AC=AK+KC=4+6=10\text{ см}$

Знайдемо периметр трикутника $△ABC$ як суму довжин усіх його сторін:
$P_{△ABC}=AB+BC+AC=6+9+10=25\text{ см}$

Відповідь:
$25\text{ см}$.