Завдання № 2.32. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Обчисліть:

1) $cos^{2} 1 2^{\circ} + cos^{2} 7 8^{\circ}$ ;

2) $6 + sin 4 2^{\circ} - sin 13 8^{\circ}$ .

Покроковий розв’язок:

1) Обчислення виразу $cos^{2} 1 2^{\circ} + cos^{2} 7 8^{\circ}$

Подамо кут $7 8^{\circ}$ як різницю: $7 8^{\circ} = 9 0^{\circ} - 1 2^{\circ}$ .

За формулою зведення $cos (9 0^{\circ} - α) = sin α$ маємо:

cos 7 8^{\circ} = cos (9 0^{\circ} - 1 2^{\circ}) = sin 1 2^{\circ}

Підставимо отримане значення у вихідний вираз:

cos^{2} 1 2^{\circ} + cos^{2} 7 8^{\circ} = cos^{2} 1 2^{\circ} + sin^{2} 1 2^{\circ}

За основною тригонометричною тотожністю ( $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ для будь-якого кута $α$ ):

cos^{2} 1 2^{\circ} + sin^{2} 1 2^{\circ} = 1

2) Обчислення виразу $6 + sin 4 2^{\circ} - sin 13 8^{\circ}$

Подамо кут $13 8^{\circ}$ як різницю: $13 8^{\circ} = 18 0^{\circ} - 4 2^{\circ}$ .

За формулою зведення для синуса суміжних кутів $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ отримуємо:

sin 13 8^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 4 2^{\circ}) = sin 4 2^{\circ}

Підставимо це значення у вираз:

6 + sin 4 2^{\circ} - sin 13 8^{\circ} = 6 + sin 4 2^{\circ} - sin 4 2^{\circ} = 6

Відповідь:

1) $1$ ;

2) $6$ .