Завдання № 2.31. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Обчисліть:

1) ${\sin }^{2}37^{\circ }+{\sin }^{2}53^{\circ }$;

2) $5-\cos 137^{\circ }-\cos 43^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення значення першого виразу:
Використаємо формулу зведення для синуса гострого кута:
$\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$

Подамо кут $37^{\circ }$ як різницю $90^{\circ }-53^{\circ }$:
$\sin 37^{\circ }=\sin (90^{\circ }-53^{\circ })=\cos 53^{\circ }$

Підставимо отримане значення у початковий вираз та застосуємо основну тригонометричну тотожність ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:
${\sin }^{2}37^{\circ }+{\sin }^{2}53^{\circ }={\cos }^{2}53^{\circ }+{\sin }^{2}53^{\circ }=1$

2. Обчислення значення другого виразу:
Використаємо формулу зведення для косинуса тупого кута:
$\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$

Подамо кут $137^{\circ }$ як різницю $180^{\circ }-43^{\circ }$:
$\cos 137^{\circ }=\cos (180^{\circ }-43^{\circ })=-\cos 43^{\circ }$

Підставимо отриманий вираз у початковий приклад і спростимо його:
$5-\cos 137^{\circ }-\cos 43^{\circ }=5-(-\cos 43^{\circ })-\cos 43^{\circ }=5+\cos 43^{\circ }-\cos 43^{\circ }=5$

Відповідь:

1) $1$;

2) $5$.