Завдання № 2.30. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть суму косинусів усіх кутів трапеції.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано довільну трапецію $ABCD$ з основами $BC\parallel AD$.

1. Властивість кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони
Оскільки основи трапеції паралельні ($BC\parallel AD$), кути, що прилягають до кожної з бічних сторін, є внутрішніми односторонніми при паралельних прямих $BC$ і $AD$ та відповідних січних $AB$ і $CD$. Отже, їхня сума дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle A+\angle B=180^{\circ }⟹\angle B=180^{\circ }-\angle A$
$\angle C+\angle D=180^{\circ }⟹\angle C=180^{\circ }-\angle D$

2. Застосування формули зведення для косинуса
За формулою зведення тригонометричних функцій для довільного кута $\alpha$ справджується тотожність:
$\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$

Застосуємо її для кутів $\angle B$ та $\angle C$:
$\cos \angle B=\cos (180^{\circ }-\angle A)=-\cos \angle A$
$\cos \angle C=\cos (180^{\circ }-\angle D)=-\cos \angle D$

3. Обчислення суми косинусів усіх кутів трапеції
Запишемо шукану суму та підставимо отримані вирази:

Таким чином, для будь-якої трапеції сума косинусів усіх її кутів дорівнює $0$.

Відповідь:
$0$