Завдання № 2.29. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Побудуйте кут $\alpha$, якщо:

1) $\mathrm{tg}\alpha =-\frac{3}{5}$;

2) $\sin \alpha =\frac{2}{3}$.

Покроковий розв’язок:

1. Побудова кута $\alpha$, якщо $\mathrm{tg}\alpha =-\frac{3}{5}$

Оскільки значення тангенса від’ємне ($\mathrm{tg}\alpha <0$), шуканий кут $\alpha$ є тупим ($90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$).

Для тупого кута справедлива формула зведення для суміжних кутів:

Отже, якщо $\mathrm{tg}\alpha =-\frac{3}{5}$, то для суміжного з ним гострого кута $\beta =180^{\circ }-\alpha$ маємо:

Побудова кута зводиться до таких кроків:

1) Будуємо прямий кут із вершиною в точці $C$ ($\angle C=90^{\circ }$).

2) На одній стороні прямого кута відкладаємо катет $CA=5$ одиничних відрізків.

3) На другій стороні прямого кута відкладаємо катет $CB=3$ одиничні відрізки.

4) Сполучаємо точки $A$ і $B$. У прямокутному трикутнику $△ABC$ кут $\angle BAC=\beta$ є гострим, і за означенням тангенса в прямокутному трикутнику:

5) Продовжуємо катет $CA$ за точку $A$ променем $A{A}^{\prime }$. Суміжний із кутом $\beta$ кут $\angle BA{A}^{\prime }$ і є шуканим кутом $\alpha$:

2. Побудова кута $\alpha$, якщо $\sin \alpha =\frac{2}{3}$

Оскільки синус кута від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ набуває додатних значень для будь-якого кута, умова $\sin \alpha =\frac{2}{3}$ дає два можливих випадки: гострий кут ${\alpha }_1$ та тупий кут ${\alpha }_2$, суміжний із ним, бо за формулою зведення:

Побудова кутів зводиться до таких кроків:

1) Будуємо прямий кут із вершиною в точці $C$ ($\angle C=90^{\circ }$).

2) На одній стороні прямого кута відкладаємо катет $CB=2$ одиничні відрізки.

3) Із точки $B$, як із центра, радіусом $R=3$ одиничні відрізки проводимо дугу кола до перетину з другою стороною прямого кута в точці $A$.

4) Отримуємо прямокутний трикутник $△ABC$ із катетом $CB=2$ та гіпотенузою $AB=3$. За означенням синуса:

Отже, гострий кут $\angle BAC={\alpha }_1$ є першим шуканим кутом.
5. Продовжуємо промінь $CA$ за точку $A$ променем $A{A}^{\prime }$. Суміжний із ним кут $\angle BA{A}^{\prime }={\alpha }_2=180^{\circ }-{\alpha }_1$ є другим шуканим тупим кутом, для якого також:

Відповідь:

1) Шуканим є тупий кут $\alpha$, суміжний із гострим кутом прямокутного трикутника з катетами $3$ і $5$ (протилежним до катета завдовжки $3$).

2) Шуканими є два кути: гострий кут ${\alpha }_1$ прямокутного трикутника з протилежним катетом $2$ і гіпотенузою $3$, а також тупий кут ${\alpha }_2=180^{\circ }-{\alpha }_1$, суміжний із ним.