Завдання № 2.28. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Побудуйте кут $\alpha$, якщо:

1) $\cos \alpha =-\frac{3}{7}$;

2) $\sin \alpha =\frac{3}{5}$.

Покроковий розв’язок:

1) Побудова кута за умовою $\cos \alpha =-\frac{3}{7}$

Оскільки $\cos \alpha =-\frac{3}{7}<0$, кут $\alpha$ є тупим ($90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$).

За формулою зведення маємо:
$\cos \alpha =-\cos (180^{\circ }-\alpha )$

Нехай $\beta =180^{\circ }-\alpha$ — гострий кут, суміжний до кута $\alpha$. Тоді:
$\cos \beta =\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha =-\left(-\frac{3}{7}\right)=\frac{3}{7}$

Спочатку побудуємо прямокутний трикутник із гострим кутом $\beta$:

1) Будуємо прямий кут із вершиною в точці $C$ ($\angle C=90^{\circ }$).

2) На одній із його сторін відкладаємо катет $CA=3$ одиничні відрізки.

3) Проводимо дугу кола із центром у точці $A$ та радіусом $R=7$ одиничних відрізків до перетину з другою стороною прямого кута в точці $B$.

4) Отримуємо прямокутний $△ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$), у якому за означенням косинуса гострого кута:
$\cos \angle BAC=\frac{CA}{AB}=\frac{3}{7}$
Отже, $\angle BAC=\beta$.

5) Продовжуємо промінь $CA$ за точку $A$ і позначаємо на ньому довільну точку $A^{\prime }$.

Кут $\angle BA{A}^{\prime }$ є суміжним до кута $\angle BAC$, тому:
$\angle BA{A}^{\prime }=180^{\circ }-\beta =\alpha$
Кут $\angle BA{A}^{\prime }$ — шуканий кут $\alpha$.

2) Побудова кута за умовою $\sin \alpha =\frac{3}{5}$

Оскільки $\sin \alpha =\frac{3}{5}>0$, а для кутів у межах від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ синус набуває однакового додатного значення для двох кутів — гострого та суміжного до нього тупого ($\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$), задача має два розв’язки:

• гострий кут ${\alpha }_1$;
• тупий кут ${\alpha }_2=180^{\circ }-{\alpha }_1$.

Спочатку побудуємо гострий кут ${\alpha }_1$:

1) Будуємо прямий кут із вершиною в точці $C$ ($\angle C=90^{\circ }$).

2) На одній із його сторін відкладаємо катет $CB=3$ одиничні відрізки.

3) Проводимо дугу кола із центром у точці $B$ та радіусом $R=5$ одиничних відрізків до перетину з другою стороною прямого кута в точці $A$.

4) Отримуємо прямокутний $△ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$), де за означенням синуса гострого кута:
$\sin \angle BAC=\frac{CB}{AB}=\frac{3}{5}$
Отже, кут $\angle BAC={\alpha }_1$ є першим шуканим кутом.

Для побудови другого (тупого) кута ${\alpha }_2$:
5. На промені, що містить сторону $CA$, продовжуємо пряму за точку $A$ і позначаємо точку $A^{\prime }$.
6. Кут $\angle BA{A}^{\prime }$ є суміжним до $\angle BAC$:
$\angle BA{A}^{\prime }=180^{\circ }-{\alpha }_1={\alpha }_2$
Оскільки $\sin {\alpha }_2=\sin (180^{\circ }-{\alpha }_1)=\sin {\alpha }_1=\frac{3}{5}$, кут $\angle BA{A}^{\prime }$ є другим шуканим кутом.

Відповідь:

1) Тупий кут $\alpha =\angle BA{A}^{\prime }$, суміжний із кутом $\beta =\angle BAC$ прямокутного трикутника $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$, $CA=3$, $AB=7$);

2) Два кути: гострий кут ${\alpha }_1=\angle BAC$ та тупий кут ${\alpha }_2=180^{\circ }-{\alpha }_1=\angle BA{A}^{\prime }$ прямокутного трикутника $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$, $CB=3$, $AB=5$).