Завдання № 2.25. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть значення виразу:

1) ${\sin }^{2}150^{\circ }+{\cos }^{2}120^{\circ }-{\mathrm{tg}}^{2}150^{\circ }$

2) $\frac{\sin 150^{\circ }}{\mathrm{tg}150^{\circ }}-\cos 150^{\circ }$

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення першого виразу:

Для знаходження тригонометричних функцій тупих кутів скористаємося формулами зведення для кутів від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$:

• $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$, звідки $\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$;
• $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, звідки $\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$;
• $\mathrm{tg}(180^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$, звідки $\mathrm{tg}150^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }-30^{\circ })=-\mathrm{tg}30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Підставимо знайдені значення у початковий вираз:

2. Обчислення другого виразу:

За означенням тангенса кута маємо $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.

Спростимо перший дріб:
$\frac{\sin 150^{\circ }}{\mathrm{tg}150^{\circ }}=\frac{\sin 150^{\circ }}{\frac{\sin 150^{\circ }}{\cos 150^{\circ }}}=\sin 150^{\circ }\cdot \frac{\cos 150^{\circ }}{\sin 150^{\circ }}=\cos 150^{\circ }$

Підставимо отриманий результат у вираз:
$\frac{\sin 150^{\circ }}{\mathrm{tg}150^{\circ }}-\cos 150^{\circ }=\cos 150^{\circ }-\cos 150^{\circ }=0$

Відповідь:

1) $\frac{1}{6}$;

2) $0$.