Завдання № 2.24. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Обчисліть:

1) ${\cos }^{2}150^{\circ }-{\sin }^{2}120^{\circ }+\mathrm{tg}135^{\circ }$;

2) $\mathrm{tg}120^{\circ }\cdot \cos 120^{\circ }+\sin 120^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Для обчислення значень тригонометричних функцій тупих кутів скористаємося формулами зведення:

• $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$;
• $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$;
• $\mathrm{tg}(180^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$.

1. Обчислення значення першого виразу:

Знайдемо значення кожного доданка:

• $\cos 150^{\circ }=\cos (180^{\circ }-30^{\circ })=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;
• $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-60^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$;
• $\mathrm{tg}135^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }-45^{\circ })=-\mathrm{tg}45^{\circ }=-1$.

Підставимо отримані значення у вираз:

2. Обчислення значення другого виразу:

Скористаємося означенням тангенса кута $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$:

Скоротивши дріб на $\cos 120^{\circ }\ne 0$, отримаємо:

Обчислимо значення синуса кута $120^{\circ }$:

Отже:

Відповідь:

1) $-1$;

2) $\sqrt{3}$.