Завдання № 2.23. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Доведіть тригонометричну тотожність:

1) $cos^{2} α + tg^{2} α \cdot cos^{2} α = 1$ ;

2) $(sin α + cos α) (sin α - cos α) = 1 - 2 cos^{2} α$ .

Покроковий розв’язок:

Для доведення тотожностей перетворимо вираз у лівій частині кожної рівності та покажемо, що він дорівнює виразу в правій частині.

1. Доведення тотожності $cos^{2} α + tg^{2} α \cdot cos^{2} α = 1$

За означенням тангенса маємо:

tg α = \frac{sin α}{cos α}, тому tg^{2} α = \frac{sin ^{2} α}{cos ^{2} α} (де cos α \neq = 0)

Підставимо цей вираз у ліву частину тотожності та спростимо її:

cos^{2} α + tg^{2} α \cdot cos^{2} α = cos^{2} α + \frac{sin ^{2} α}{cos ^{2} α} \cdot cos^{2} α = cos^{2} α + sin^{2} α

За основною тригонометричною тотожністю сума квадратів синуса і косинуса одного й того самого кута дорівнює одиниці:

cos^{2} α + sin^{2} α = 1

Отримали $1 = 1$ . Ліва частина дорівнює правій частині, отже, тотожність доведено.

2. Доведення тотожності $(sin α + cos α) (sin α - cos α) = 1 - 2 cos^{2} α$

Застосуємо до лівої частини формулу скороченого множення (різницю квадратів $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ):

(sin α + cos α) (sin α - cos α) = sin^{2} α - cos^{2} α

З основної тригонометричної тотожності $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ виразимо $sin^{2} α$ :

sin^{2} α = 1 - cos^{2} α

Підставимо отриманий вираз замість $sin^{2} α$ :

sin^{2} α - cos^{2} α = (1 - cos^{2} α) - cos^{2} α = 1 - 2 cos^{2} α

Отримали вираз, тотожно рівний правій частині: $1 - 2 cos^{2} α = 1 - 2 cos^{2} α$ . Тотожність доведено.

Відповідь:
Тотожності доведено.