Завдання № 2.21. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть:

1) $\sin \alpha$ і $\mathrm{tg}\alpha$, якщо $\cos \alpha =-0,6$;

2) $\cos \alpha$ і $\mathrm{tg}\alpha$, якщо $\sin \alpha =\frac{1}{2}$.

Покроковий розв’язок:

У курсі геометрії 9 класу розглядаються кути $\alpha$, для яких $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$.

Для будь-якого кута в цих межах синус є невід’ємним ($\sin \alpha \ge 0$), а зв’язок між тригонометричними функціями визначається основною тригонометричною тотожністю:

та означенням тангенса:

1. Знаходження $\sin \alpha$ і $\mathrm{tg}\alpha$, якщо $\cos \alpha =-0,6$

Виразимо ${\sin }^2\alpha$ з основної тригонометричної тотожності:

Підставимо значення $\cos \alpha =-0,6$:

Оскільки для $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ значення синуса не може бути від’ємним ($\sin \alpha \ge 0$), отримуємо:

Обчислимо тангенс кута $\alpha$:

2. Знаходження $\cos \alpha$ і $\mathrm{tg}\alpha$, якщо $\sin \alpha =\frac{1}{2}$

Виразимо ${\cos }^2\alpha$ з основної тригонометричної тотожності:

Підставимо значення $\sin \alpha =\frac{1}{2}$:

Для кутів від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ косинус може набувати як додатних значень (якщо кут гострий), так і від’ємних (якщо кут тупий). Тому маємо два випадки:

Знайдемо відповідні значення тангенса для кожного випадку:

• Якщо $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$:

• Якщо $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Відповідь:

1) $\sin \alpha =0,8$, $\mathrm{tg}\alpha =-1\frac{1}{3}$;

2) $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ або $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\mathrm{tg}\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}$.