Завдання № 2.18. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Побудуйте гострий кут:

1) косинус якого дорівнює $\frac{1}{5}$;

2) тангенс якого дорівнює $\frac{3}{4}$.

Покроковий розв’язок:

1. Побудова кута, косинус якого дорівнює $\frac{1}{5}$

За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника: косинус дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Нехай шуканий кут дорівнює $\alpha$. У прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) для гострого кута $A$:
$\cos \alpha =\frac{AC}{AB}$

Якщо взяти довжину прилеглого катета $AC=1$ (одиничний відрізок), а гіпотенузи $AB=5$ (таких самих одиничних відрізків), отримаємо:
$\cos \alpha =\frac{1}{5}$

План побудови:

1) Будуємо прямий кут із вершиною в точці $C$ ($\angle C=90^{\circ }$).

2) На одній із його сторін відкладаємо відрізок $CA=1$ одиничний відрізок.

3) З точки $A$ як із центра розхилом циркуля, що дорівнює $5$ одиничним відрізкам, проводимо дугу кола до перетину з другою стороною прямого кута в точці $B$.

4) Сполучаємо точки $A$ і $B$ відрізком.

5) Отриманий кут $\angle CAB$ є шуканим кутом $\alpha$, оскільки в прямокутному трикутнику $ABC$:
$\cos \angle CAB=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{5}$

2. Побудова кута, тангенс якого дорівнює $\frac{3}{4}$

За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника: тангенс дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета.

Нехай шуканий кут дорівнює $\alpha$. У прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) для гострого кута $A$:
$\mathrm{tg}\alpha =\frac{BC}{AC}$

Якщо взяти довжину протилежного катета $BC=3$ одиничні відрізки, а прилеглого катета $AC=4$ одиничні відрізки, отримаємо:
$\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}$

План побудови:

1) Будуємо прямий кут із вершиною в точці $C$ ($\angle C=90^{\circ }$).

2) На одній стороні кута відкладаємо відрізок $CA=4$ одиничні відрізки.

3) На другій стороні кута відкладаємо відрізок $CB=3$ такі самі одиничні відрізки.

4) Сполучаємо точки $A$ і $B$ відрізком.

5) Отриманий кут $\angle CAB$ є шуканим кутом $\alpha$, оскільки в прямокутному трикутнику $ABC$:
$\mathrm{tg}\angle CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$

Відповідь:

1) Побудовано гострий кут $\angle CAB$ прямокутного трикутника $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) із прилеглим катетом $AC=1$ та гіпотенузою $AB=5$;

2) Побудовано гострий кут $\angle CAB$ прямокутного трикутника $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) із протилежним катетом $BC=3$ та прилеглим катетом $AC=4$.