Завдання № 2.17. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Побудуйте гострий кут:

1) синус якого дорівнює $\frac{1}{3}$;

2) тангенс якого дорівнює $\frac{4}{5}$.

Покроковий розв’язок:

1. Побудова гострого кута, синус якого дорівнює $\frac{1}{3}$

За означенням, синус гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи. Нехай шуканий кут дорівнює $\alpha$. Тоді:

Отже, побудова кута зводиться до побудови прямокутного трикутника $ABC$ з прямим кутом $C$, протилежним катетом $BC=1$ одиничний відрізок і гіпотенузою $AB=3$ одиничні відрізки.

План побудови:

1) За допомогою косинця або циркуля й лінійки будуємо прямий кут з вершиною у точці $C$ ($\angle C=90^{\circ }$).

2) На одній зі сторін прямого кута відкладаємо відрізок $CB$, довжина якого дорівнює $1$ одиничному відрізку.

3) З точки $B$ як із центра розхилом циркуля, що дорівнює $3$ одиничним відрізкам, проводимо дугу кола до перетину з другою стороною кута. Точку перетину позначаємо $A$.

4) Сполучаємо точки $A$ і $B$ відрізком.

Утворений кут $\angle BAC=\alpha$ є шуканим, оскільки у прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) протилежний катет $BC=1$, гіпотенуза $AB=3$, звідки $\sin \alpha =\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$.

2. Побудова гострого кута, тангенс якого дорівнює $\frac{4}{5}$

За означенням, тангенс гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета:

Отже, побудова кута зводиться до побудови прямокутного трикутника $ABC$ з прямим кутом $C$ та катетами $BC=4$ і $AC=5$ одиничних відрізків.

План побудови:

1) Будуємо прямий кут з вершиною у точці $C$ ($\angle C=90^{\circ }$).

2) На одній зі сторін кута відкладаємо відрізок $AC$, довжина якого дорівнює $5$ одиничним відрізкам.

3) На другій стороні кута відкладаємо відрізок $BC$, довжина якого дорівнює $4$ одиничним відрізкам.

4) Сполучаємо точки $A$ і $B$ відрізком.

Отриманий кут $\angle BAC=\alpha$ є шуканим, оскільки у прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) відношення протилежного катета до прилеглого дорівнює:

Відповідь:

1) Кут $\alpha$ — гострий кут прямокутного трикутника з протилежним катетом $1$ і гіпотенузою $3$;

2) Кут $\alpha$ — гострий кут прямокутного трикутника з протилежним катетом $4$ і прилеглим катетом $5$.