Завдання № 2.16. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Спростіть вираз:

1) $1-{\cos }^2\alpha$

2) $(1-\sin \alpha )(1+\sin \alpha )$

3) $\cos (90^{\circ }-\alpha )+\sin (180^{\circ }-\alpha )$

4) $\frac{\cos (180^{\circ }-\alpha )}{\sin (90^{\circ }-\alpha )}$

Покроковий розв’язок:

1) Спрощення виразу $1-{\cos }^2\alpha$

За основною тригонометричною тотожністю:
${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Звідси виразимо ${\sin }^2\alpha$:
$1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$

2) Спрощення виразу $(1-\sin \alpha )(1+\sin \alpha )$

Застосуємо формулу скороченого множення для різниці квадратів $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(1-\sin \alpha )(1+\sin \alpha )=1^2-{\sin }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$

Використовуючи основну тригонометричну тотожність ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, отримуємо:
$1-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$

3) Спрощення виразу $\cos (90^{\circ }-\alpha )+\sin (180^{\circ }-\alpha )$

Застосуємо формули зв’язку між тригонометричними функціями кутів:
$\cos (90^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$
$\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$

Підставимо ці співвідношення у початковий вираз та зведемо подібні доданки:
$\cos (90^{\circ }-\alpha )+\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha +\sin \alpha =2\cdot \sin \alpha$

4) Спрощення виразу $\frac{\cos (180^{\circ }-\alpha )}{\sin (90^{\circ }-\alpha )}$

За формулами зв’язку між тригонометричними функціями:
$\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$
$\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$

Підставимо їх у чисельник і знаменник дробу:
$\frac{\cos (180^{\circ }-\alpha )}{\sin (90^{\circ }-\alpha )}=\frac{-\cos \alpha }{\cos \alpha }=-1$

Відповідь:

1) ${\sin }^2\alpha$;

2) ${\cos }^2\alpha$;

3) $2\cdot \sin \alpha$;

4) $-1$.