Завдання № 2.15. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Спростіть вираз:

1) $1-{\sin }^2\alpha$;

2) $(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )$;

3) $\sin (90^{\circ }-\alpha )+\cos (180^{\circ }-\alpha )$;

4) $\frac{\cos (90^{\circ }-\alpha )}{\sin (180^{\circ }-\alpha )}$.

Покроковий розв’язок:

1. Спрощення виразу $1-{\sin }^2\alpha$
За основною тригонометричною тотожністю:
${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Звідси виражаємо ${\cos }^2\alpha$:
${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$

Отже:
$1-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$

2. Спрощення виразу $(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )$
Застосуємо формулу скороченого множення (різницю квадратів $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$):
$(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )=1^2-{\cos }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$

За основною тригонометричною тотожністю ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, звідки $1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$.
Отримуємо:
$(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )={\sin }^2\alpha$

3. Спрощення виразу $\sin (90^{\circ }-\alpha )+\cos (180^{\circ }-\alpha )$
Скористаємося формулами для кутів $(90^{\circ }-\alpha )$ та $(180^{\circ }-\alpha )$:

• $\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$
• $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$

Підставимо ці співвідношення у вираз:
$\sin (90^{\circ }-\alpha )+\cos (180^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha +(-\cos \alpha )=\cos \alpha -\cos \alpha =0$

4. Спрощення виразу $\frac{\cos (90^{\circ }-\alpha )}{\sin (180^{\circ }-\alpha )}$
Скористаємося формулами:

• $\cos (90^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$
• $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$

Підставимо отримані значення в чисельник і знаменник дробу:
$\frac{\cos (90^{\circ }-\alpha )}{\sin (180^{\circ }-\alpha )}=\frac{\sin \alpha }{\sin \alpha }=1$
(за умови $\sin \alpha \ne 0$, тобто $\alpha \ne 0^{\circ }$ та $\alpha \ne 180^{\circ }$)

Відповідь:

1) ${\cos }^2\alpha$;

2) ${\sin }^2\alpha$;

3) $0$;

4) $1$.