Завдання № 19. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
На колі $x^2+y^2-26x+30y+313=0$ знайдіть найближчу до точки $A(3;9)$ точку $B$. Знайдіть відстань від точки $A$ до точки $B$.

Покроковий розв’язок:

1. Зведення рівняння кола до канонічного вигляду

Канонічне рівняння кола з центром у точці $O(a;b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

Перетворимо задане рівняння, виділивши повні квадрати за змінними $x$ та $y$:
$x^2-26x+y^2+30y+313=0$
$(x^2-2\cdot 13x+13^2)-13^2+(y^2+2\cdot 15y+15^2)-15^2+313=0$
$(x-13{)}^2-169+(y+15{)}^2-225+313=0$
$(x-13{)}^2+(y+15{)}^2-81=0$
$(x-13{)}^2+(y+15{)}^2=81$

Отже, центром кола є точка $O(13;-15)$, а радіус кола дорівнює:
$R=\sqrt{81}=9$

2. Геометричне визначення положення найближчої точки

Знайдемо відстань від заданої точки $A(3;9)$ до центра кола $O(13;-15)$ за формулою відстані між двома точками:
$AO=\sqrt{(x_O-x_A{)}^2+(y_O-y_A{)}^2}$
$AO=\sqrt{(13-3{)}^2+(-15-9{)}^2}=\sqrt{10^2+(-24{)}^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$

Оскільки $AO=26>R=9$, точка $A$ лежить поза даним колом.

Геометрично найкоротша відстань від точки, яка лежить поза колом, до точок кола вимірюється вздовж прямої, що з’єднує цю точку із центром кола. Тому шукана найближча точка $B$ лежить на відрізку $AO$ на відстані радіуса $R$ від центра $O$.

Відповідно, шукана відстань $AB$ дорівнює:
$AB=AO-R=26-9=17$

3. Знаходження координат точки $B$

Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{AO}$:
$\overrightarrow{AO}=(x_O-x_A;y_O-y_A)=(13-3;-15-9)=(10;-24)$

Оскільки точка $B$ лежить на відрізку $AO$, вектор $\overrightarrow{AB}$ співнапрямлений з вектором $\overrightarrow{AO}$ ($\overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AO}$), а його довжина становить частину від повної довжини відрізка $AO$:
$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AO}|}=\frac{AB}{AO}=\frac{17}{26}$

Звідси знайдемо координати вектора $\overrightarrow{AB}$:
$\overrightarrow{AB}=\frac{17}{26}\cdot \overrightarrow{AO}=\left(\frac{17}{26}\cdot 10;\frac{17}{26}\cdot (-24)\right)=\left(\frac{17\cdot 5}{13};\frac{17\cdot (-12)}{13}\right)=\left(\frac{85}{13};-\frac{204}{13}\right)$

Координати шуканої точки $B(x_B;y_B)$ дорівнюють сумі координат початкової точки $A$ та координат вектора $\overrightarrow{AB}$:
$x_B=x_A+\frac{85}{13}=3+\frac{85}{13}=\frac{39+85}{13}=\frac{124}{13}=9\frac{7}{13}$
$y_B=y_A-\frac{204}{13}=9-\frac{204}{13}=\frac{117-204}{13}=-\frac{87}{13}=-6\frac{9}{13}$

Отже, точка $B$ має координати:
$B\left(9\frac{7}{13};-6\frac{9}{13}\right)$

Відповідь:
$B\left(9\frac{7}{13};-6\frac{9}{13}\right)$, відстань $AB=17$.