Завдання № 19. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Пряма $a$ належить площині $\alpha$ і паралельна прямій $b$, яка належить площині $\beta$. Чи можуть площини $\alpha$ і $\beta$:

1) бути паралельними;

2) перетинатися;

3) бути перпендикулярними?

Зробіть малюнки до можливих випадків розміщення.

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження можливості паралельності площин ($\alpha \parallel \beta$)

Так, площини $\alpha$ і $\beta$ можуть бути паралельними.

Якщо дві площини паралельні ($\alpha \parallel \beta$), то будь-яка пряма $a$, що лежить у площині $\alpha$, не має спільних точок із площиною $\beta$. У площині $\beta$ завжди можна провести пряму $b$, паралельну прямій $a$ ($a\parallel b$). При цьому прямі $a$ і $b$ лежать в одній спільній площині, але належать різним паралельним площинам $\alpha$ та $\beta$.

2. Дослідження можливості перетину площин

Так, площини $\alpha$ і $\beta$ можуть перетинатися.

Нехай площини $\alpha$ і $\beta$ перетинаються по деякій прямій $c$. Якщо в площині $\alpha$ провести пряму $a$, паралельну лінії перетину $c$ ($a\parallel c$), а в площині $\beta$ — пряму $b$, також паралельну лінії перетину $c$ ($b\parallel c$), то за теоремою про транзитивність паралельності прямих у просторі (дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою):
$a\parallel b$
Отже, умова задачі повністю виконується, коли площини $\alpha$ і $\beta$ перетинаються під довільним кутом по прямій $c\parallel a\parallel b$.

3. Дослідження можливості перпендикулярності площин ($\alpha \perp \beta$)

Так, площини $\alpha$ і $\beta$ можуть бути перпендикулярними.

Перпендикулярність площин є окремим випадком їх перетину, коли лінійний кут двогранного кута між ними дорівнює $90^{\circ }$. Якщо площини $\alpha$ і $\beta$ взаємно перпендикулярні та перетинаються по прямій $c$, а прямі $a\subset \alpha$ та $b\subset \beta$ паралельні лінії їх перетину $c$ ($a\parallel c$ і $b\parallel c$), то прямі $a$ і $b$ будуть взаємно паралельними ($a\parallel b$), а самі площини — перпендикулярними ($\alpha \perp \beta$).

Відповідь:

1) Так, можуть;

2) Так, можуть;

3) Так, можуть.