Завдання № 19. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано точки $A$ і $O$. Використовуючи лише циркуль, побудуйте точку $A^{\prime }$, у яку переходить точка $A$ при симетрії відносно точки $O$.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз задачі
За означенням центральної симетрії точка $A^{\prime }$ симетрична точці $A$ відносно точки $O$, якщо точка $O$ є серединою відрізка $A{A}^{\prime }$.
Це означає, що:

• точки $A$, $O$ і $A^{\prime }$ лежать на одній прямій;
• $O{A}^{\prime }=OA$;
• розгорнутий кут $\angle AO{A}^{\prime }=180^{\circ }$, тобто точки $A$ та $A^{\prime }$ є діаметрально протилежними точками кола з центром $O$ і радіусом $R=OA$.

Відомо, що сторона правильного вписаного шестикутника дорівнює радіусу описаного кола ($a_6=R$). Центральний кут, що спирається на сторону правильного шестикутника, дорівнює:
$\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$
Відклавши послідовно три такі дуги від точки $A$, отримаємо сумарний кут:
$3\cdot 60^{\circ }=180^{\circ }$
Кінцева точка третьої дуги буде шуканою точкою $A^{\prime }$.

2. Алгоритм побудови

1) Встановимо голку циркуля в точку $O$ з розхилом, рівним довжині відрізка $OA$, і проведемо коло радіуса $R=OA$. Точка $A$ лежить на цьому колі.

2) Не змінюючи розхилу циркуля ($R=OA$), встановимо його голку в точку $A$ і зробимо засічку на колі, позначивши точку $P$. У рівносторонньому трикутнику $△AOP$ кут $\angle AOP=60^{\circ }$.

3) Встановимо голку циркуля в точку $P$ і тим самим розхилом зробимо наступну засічку на колі, позначивши точку $M$. Маємо $\angle POM=60^{\circ }$.

4) Встановимо голку циркуля в точку $M$ і тим самим розхилом зробимо третю засічку на колі, позначивши точку $A^{\prime }$. Маємо $\angle MO{A}^{\prime }=60^{\circ }$.

Оскільки $\angle AO{A}^{\prime }=\angle AOP+\angle POM+\angle MO{A}^{\prime }=60^{\circ }+60^{\circ }+60^{\circ }=180^{\circ }$, точки $A$, $O$ і $A^{\prime }$ лежать на одній прямій, причому $O{A}^{\prime }=OA=R$. Отже, точка $A^{\prime }$ — шукана.

Відповідь: Точку $A^{\prime }$ побудовано за допомогою циркуля шляхом послідовного відкладання трьох дуг розхилом $R=OA$ по колу з центром $O$ (побудова вершини правильного вписаного шестикутника, діаметрально протилежної до $A$).