Завдання № 19. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Для медіан трикутника $m_{1}$ , $m_{2}$ , $m_{3}$ справджується рівність $m_{1}^{2} + m_{2}^{2} = 5 m_{3}^{2}$ . Доведіть, що трикутник прямокутний.

Покроковий розв’язок:

1. Формули для квадратів медіан трикутника
Нехай сторони трикутника дорівнюють $a$ , $b$ , $c$ , а відповідні медіани, проведені до цих сторін, дорівнюють $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ . Позначимо $m_{1} = m_{a}$ , $m_{2} = m_{b}$ , $m_{3} = m_{c}$ .

За формулою довжини медіани трикутника через його сторони маємо:

m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}

m_{b}^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 c ^{2} - b ^{2}}{4}

m_{c}^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}

2. Підстановка у задане співвідношення
За умовою виконується рівність:

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} = 5 m_{c}^{2}

Підставимо вирази для квадратів медіан у цю рівність:

\frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4} + \frac{2 a ^{2} + 2 c ^{2} - b ^{2}}{4} = 5 \cdot \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}

3. Спрощення отриманого рівняння
Помножимо обидві частини рівності на $4$ :

(2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}) + (2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}) = 5 \cdot (2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2})

Зведемо подібні доданки у лівій частині та розкриємо дужки у правій частині:

a^{2} + b^{2} + 4 c^{2} = 10 a^{2} + 10 b^{2} - 5 c^{2}

Перенесемо доданки зі змінною $c$ у ліву частину, а з $a$ та $b$ — у праву частину:

4 c^{2} + 5 c^{2} = 10 a^{2} - a^{2} + 10 b^{2} - b^{2}

9 c^{2} = 9 a^{2} + 9 b^{2}

Поділимо обидві частини рівності на $9$ :

c^{2} = a^{2} + b^{2}

4. Геометричний висновок
Отримана залежність $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, свідчить про те, що трикутник зі сторонами $a$ , $b$ , $c$ є прямокутним із гіпотенузою $c$ та прямим кутом, що лежить навпроти сторони $c$ .

Відповідь:
Оскільки $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, даний трикутник є прямокутним із гіпотенузою $c$ . Що й треба було довести.

Завдання № 19. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку