Завдання № 19. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, різниця яких дорівнює $20^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано ромб $ABCD$, діагоналі якого перетинаються в точці $O$.

1. Властивості діагоналей ромба
Діагоналі ромба мають такі властивості:

• є взаємно перпендикулярними: $AC\perp BD$, отже, трикутник $△ABO$ є прямокутним ($\angle AOB=90^{\circ }$);
• є бісектрисами його кутів, тобто $\angle A=2\cdot \angle OAB$ та $\angle B=2\cdot \angle ABO$.

2. Складання рівняння
Сторона $AB$ утворює з діагоналями $AC$ та $BD$ кути $\angle OAB$ та $\angle ABO$.
Нехай менший із цих кутів:

Тоді за умовою задачі більший кут дорівнює:

Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника $△ABO$ дорівнює $90^{\circ }$:

Отже, кути між стороною та діагоналями становлять:

3. Знаходження кутів ромба
Оскільки діагоналі ромба є бісектрисами його кутів:

За властивістю протилежних кутів ромба:

Відповідь:
$70^{\circ }$, $110^{\circ }$, $70^{\circ }$, $110^{\circ }$.