Завдання № 19.5. § 19. Симетрія відносно точки (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Дано відрізок $MN$, кінці якого мають координати $M(-2;-1)$ і $N(4;-3)$. Побудуйте відрізок, симетричний відрізку $MN$ відносно початку координат, та запишіть координати його кінців.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість симетрії відносно початку координат

Центральна симетрія відносно початку координат $O(0;0)$ переводить довільну точку площини $A(x;y)$ у точку $A^{\prime }(-x;-y)$ із протилежними координатами (оскільки точка $O(0;0)$ є серединою відрізка $A{A}^{\prime }$).

Щоб побудувати відрізок, симетричний даному відрізку $MN$ відносно точки $O$, достатньо знайти образи його кінців — точок $M$ і $N$ — та сполучити їх відрізком.

2. Обчислення координат образів точок

• Для точки $M(-2;-1)$:
  $x^{\prime }=-(-2)=2,y^{\prime }=-(-1)=1⟹M^{\prime }(2;1)$

• Для точки $N(4;-3)$:
  $x^{\prime }=-4,y^{\prime }=-(-3)=3⟹N^{\prime }(-4;3)$

Таким чином, відрізок $M^{\prime }{N}^{\prime }$ є симетричним відрізку $MN$ відносно початку координат $O(0;0)$.

3. Побудова креслення

Позначимо на координатній площині точки $M(-2;-1)$ і $N(4;-3)$ та сполучимо їх. Через кожну з точок та початок координат $O(0;0)$ проведемо промені, на яких відкладемо рівні відрізки ($O{M}^{\prime }=OM$ і $O{N}^{\prime }=ON$). Сполучимо отримані точки $M^{\prime }(2;1)$ та $N^{\prime }(-4;3)$.

Відповідь: $M^{\prime }(2;1)$, $N^{\prime }(-4;3)$.