Завдання № 19.4. § 19. Симетрія відносно точки (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано відрізок $AB$, кінці якого мають координати $A(-2;3)$ та $B(4;5)$. Побудуйте відрізок, симетричний відрізку $AB$ відносно початку координат, та запишіть координати його кінців.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість симетрії відносно початку координат
Дві точки $M(x;y)$ та $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ є симетричними відносно початку координат $O(0;0)$, якщо точка $O$ є серединою відрізка $M{M}^{\prime }$.

За формулами координат середини відрізка:

Таким чином, під час симетрії відносно початку координат точка $M(x;y)$ переходить у точку $M^{\prime }(-x;-y)$ (знаки обох координат змінюються на протилежні).

2. Знаходження координат симетричних точок
Знайдемо образи кінців відрізка $AB$:

• Для точки $A(-2;3)$: $$x_{A^{\prime }}=-(-2)=2,y_{A^{\prime }}=-3⟹A^{\prime }(2;-3)$$
• Для точки $B(4;5)$: $$x_{B^{\prime }}=-4,y_{B^{\prime }}=-5⟹B^{\prime }(-4;-5)$$

3. Побудова симетричного відрізка
Для побудови відрізка $A^{\prime }{B}^{\prime }$:

1) Позначаємо в прямокутній системі координат точки $A(-2;3)$ і $B(4;5)$ та сполучаємо їх відрізком $AB$.

2) Проводимо промені $AO$ і $BO$ через початок координат.

3) Відкладаємо на цих променях відрізки $O{A}^{\prime }=OA$ та $O{B}^{\prime }=OB$, отримуючи точки $A^{\prime }(2;-3)$ і $B^{\prime }(-4;-5)$.

4) Сполучаємо точки $A^{\prime }$ і $B^{\prime }$ відрізком. Відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$ є шуканим образом відрізка $AB$.

Відповідь:
$A^{\prime }(2;-3)$, $B^{\prime }(-4;-5)$.