Завдання № 19.22. § 19. Симетрія відносно точки (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть довжини сторін $AB$ і $AC$ трикутника $ABC$, якщо $BC=8\text{ см}$, а довжини висот, проведених до сторін $AC$ і $BC$, дорівнюють відповідно $6,4\text{ см}$ і $4\text{ см}$. Скільки випадків слід розглянути?

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження довжини сторони $AC$ через площу трикутника

Нехай у $△ABC$ висота, проведена до сторони $BC$, дорівнює $h_a=4\text{ см}$, а висота, проведена до сторони $AC$, дорівнює $h_b=6,4\text{ см}$.

Площу трикутника можна обчислити як половину добутку сторони на проведену до неї висоту:
$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h_a$

Підставимо відомі значення:
$S=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4=16{\text{ см}}^2$

З іншого боку, площу трикутника можна виразити через сторону $AC$ та висоту $h_b$:
$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot h_b$

Звідси знайдемо сторону $AC$:
$16=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot 6,4$
$16=3,2\cdot AC$
$AC=\frac{16}{3,2}=5\text{ см}$

2. Визначення можливих значень кута $C$

Формула площі трикутника через дві сторони та синус кута між ними має вигляд:
$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot \sin \angle C$

Підставимо обчислені значення:
$16=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin \angle C$
$16=20\cdot \sin \angle C$
$\sin \angle C=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$

Оскільки значення синуса додатне для кутів від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$, кут $C$ може бути як гострим, так і тупим. Отже, слід розглянути два випадки.

З основної тригонометричної тотожності ${\sin }^2\angle C+{\cos }^2\angle C=1$ маємо:
${\cos }^2\angle C=1-{\sin }^2\angle C=1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$

Звідси $\cos \angle C=\frac{3}{5}$ або $\cos \angle C=-\frac{3}{5}$.

3. Обчислення сторони $AB$ для кожного випадку

За теоремою косинусів:
$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C$

Випадок 1: кут $C$ гострий ($\cos \angle C=\frac{3}{5}$)
$A{B}^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{3}{5}$
$A{B}^2=25+64-48=41$
$AB=\sqrt{41}\text{ см}$

Перевіримо нерівність трикутника: оскільки $5+\sqrt{41}\approx 5+6,4=11,4>8$, такий трикутник дійсно існує.

Випадок 2: кут $C$ тупий ($\cos \angle C=-\frac{3}{5}$)
$A{B}^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)$
$A{B}^2=25+64+48=137$
$AB=\sqrt{137}\text{ см}$

Перевіримо нерівність трикутника: оскільки $5+8=13$, а $\sqrt{137}\approx 11,7$, маємо $5+8>\sqrt{137}$, отже, такий тупокутний трикутник також існує.

Відповідь:
Слід розглянути $2$ випадки:
$AC=5\text{ см}$; $AB=\sqrt{41}\text{ см}$ або $AB=\sqrt{137}\text{ см}$.