Завдання № 19.20. § 19. Симетрія відносно точки (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Площа прямокутного трикутника в $4$ рази менша від площі квадрата, побудованого на його гіпотенузі. Знайдіть гострі кути трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Вираження площ фігур через сторони трикутника

Нехай у прямокутному трикутнику $a$ та $b$ — довжини катетів, а $c$ — довжина гіпотенузи.

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:
$S_{△}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$

За теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:
$c^2=a^2+b^2$

Оскільки квадрат побудований на гіпотенузі, сторона квадрата дорівнює $c$. Тоді площа цього квадрата становить:
$S_{\text{кв}}=c^2=a^2+b^2$

2. Складання та розв’язання рівняння

За умовою площа трикутника в $4$ рази менша від площі квадрата, тобто площа квадрата в $4$ рази більша за площу трикутника:
$S_{\text{кв}}=4\cdot S_{△}$

Підставимо отримані вирази для площ:
$a^2+b^2=4\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\right)$
$a^2+b^2=2\cdot a\cdot b$

Перенесемо всі доданки в ліву частину:
$a^2-2\cdot a\cdot b+b^2=0$

Згорнемо вираз у лівій частині за формулою квадрата різниці:
$(a-b{)}^2=0$

Звідси отримуємо:
$a-b=0⟹a=b$

3. Знаходження гострих кутів

Оскільки катети прямокутного трикутника рівні ($a=b$), даний трикутник є рівнобедреним.

У рівнобедреному прямокутному трикутнику кути при основі (гіпотенузі) рівні між собою. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника становить $90^{\circ }$, то кожен із них дорівнює:
$\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$

Отже, гострі кути трикутника дорівнюють $45^{\circ }$ та $45^{\circ }$.

Відповідь:
$45^{\circ }$, $45^{\circ }$.