Завдання № 19.19. § 19. Симетрія відносно точки (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть кути рівнобічної трапеції, бічна сторона якої перпендикулярна до діагоналі й дорівнює меншій основі.

Покроковий розв’язок:

Нехай $ABCD$ — дана рівнобічна трапеція з основами $BC$ і $AD$ ($BC\parallel AD$), у якій $AB=CD$.

За умовою бічна сторона дорівнює меншій основі, тобто $AB=BC=CD$, а діагональ $BD$ перпендикулярна до бічної сторони $AB$ ($AB\perp BD$, отже, $\angle ABD=90^{\circ }$).

1. Зв’язок між кутами через рівнобедрений трикутник

Розглянемо трикутник $△BCD$. Оскільки $BC=CD$, то $△BCD$ — рівнобедрений з основою $BD$.
Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні, тому:
$\angle CBD=\angle CDB$

Нехай $\angle CBD=\angle CDB=\alpha$.

Оскільки основи трапеції паралельні ($BC\parallel AD$), то кути $\angle BDA$ і $\angle CBD$ є внутрішніми різносторонніми при січній $BD$, отже:
$\angle BDA=\angle CBD=\alpha$

2. Визначення кутів при більшій основі трапеції

Кут $\angle ADC$ трапеції складається з двох кутів:
$\angle ADC=\angle BDA+\angle CDB=\alpha +\alpha =2\alpha$

Оскільки трапеція $ABCD$ є рівнобічною, кути при її основі рівні:
$\angle A=\angle ADC=2\alpha$

3. Знаходження значення $\alpha$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABD$ ($\angle ABD=90^{\circ }$). Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$:
$\angle A+\angle BDA=90^{\circ }$

Підставимо вирази через $\alpha$:
$2\alpha +\alpha =90^{\circ }$
$3\alpha =90^{\circ }$
$\alpha =\frac{90^{\circ }}{3}=30^{\circ }$

4. Обчислення кутів трапеції

• Гострі кути при більшій основі $AD$:
  $\angle A=\angle D=2\alpha =2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }$

• Тупі кути при меншій основі $BC$ можна знайти з огляду на те, що сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює $180^{\circ }$ (як внутрішні односторонні кути при $BC\parallel AD$):
  $\angle B=\angle C=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$
  (або як $\angle B=\angle ABD+\angle CBD=90^{\circ }+30^{\circ }=120^{\circ }$).

Відповідь: $60^{\circ }$, $120^{\circ }$, $120^{\circ }$, $60^{\circ }$.