Завдання № 19.18. § 19. Симетрія відносно точки (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
З точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу, що вдвічі більша за перпендикуляр. Знайдіть кут між похилою і прямою.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель задачі
Нехай дано пряму $a$ та точку $A$, що не належить цій прямій.

• Проведемо з точки $A$ перпендикуляр $AB$ до прямої $a$ ($AB\perp a$, де $B\in a$).
• Проведемо похилу $AC$ до прямої $a$ ($C\in a$).
• За умовою довжина похилої вдвічі більша за довжину перпендикуляра: $AC=2\cdot AB$, тобто $AB=\frac{1}{2}AC$.

Кутом між похилою $AC$ та прямою $a$ є гострий кут $\angle ACB$ утвореного прямокутного трикутника $△ABC$ ($\angle ABC=90^{\circ }$).

2. Обчислення шуканого кута
У прямокутному трикутнику $△ABC$:

• відрізок $AC$ є гіпотенузою;
• відрізок $AB$ є катетом, що лежить проти шуканого кута $\angle ACB$.

За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника:

Підставимо співвідношення між сторонами $AB=\frac{1}{2}AC$:

Оскільки $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, маємо:

(Також за властивістю прямокутного трикутника: якщо катет дорівнює половині гіпотенузи, то кут, який лежить проти цього катета, дорівнює $30^{\circ }$).

Відповідь:
$30^{\circ }$