Завдання № 19.17. § 19. Симетрія відносно точки (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій $x+2y-3=0$ відносно:

1) початку координат;

2) точки $O(-1;-2)$.

Покроковий розв’язок:

За означенням центральної симетрії, точка $M(x_0;y_0)$ переходить у точку $M^{\prime }(x;y)$ відносно центра симетрії $C(x_c;y_c)$ так, що точка $C$ є серединою відрізка $M{M}^{\prime }$. За формулами координат середини відрізка:
$x_c=\frac{x_0+x}{2},y_c=\frac{y_0+y}{2}$

Звідси координати початкової точки через координати її образу:
$x_0=2x_c-x,y_0=2y_c-y$

Оскільки точка $M(x_0;y_0)$ належить заданій прямій, її координати задовольняють рівняння:
$x_0+2y_0-3=0$

1. Симетрія відносно початку координат $(0;0)$

У цьому випадку центр симетрії має координати $x_c=0$, $y_c=0$.
Виразимо координати початкової точки:
$x_0=2\cdot 0-x=-x$
$y_0=2\cdot 0-y=-y$

Підставимо отримані вирази в рівняння даної прямої:
$-x+2\cdot (-y)-3=0$
$-x-2y-3=0$

Помножимо обидві частини рівняння на $-1$:
$x+2y+3=0$

Отже, рівняння шуканої прямої: $x+2y+3=0$.

2. Симетрія відносно точки $O(-1;-2)$

У цьому випадку центр симетрії має координати $x_c=-1$, $y_c=-2$.
Виразимо координати початкової точки:
$x_0=2\cdot (-1)-x=-2-x$
$y_0=2\cdot (-2)-y=-4-y$

Підставимо вирази для $x_0$ та $y_0$ у рівняння заданої прямої:
$(-2-x)+2\cdot (-4-y)-3=0$
$-2-x-8-2y-3=0$
$-x-2y-13=0$

Помножимо обидві частини рівняння на $-1$:
$x+2y+13=0$

Отже, рівняння шуканої прямої: $x+2y+13=0$.

Відповідь:

1) $x+2y+3=0$;

2) $x+2y+13=0$.