Завдання № 19.16. § 19. Симетрія відносно точки (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій $2x-y+5=0$ відносно:

1) початку координат;

2) точки $O(1;3)$.

Покроковий розв’язок:

За властивістю центральної симетрії, образом прямої, яка не проходить через центр симетрії, є паралельна їй пряма.

Перетворимо рівняння заданої прямої до вигляду з кутовим коефіцієнтом:
$y=2x+5$

Оскільки шукана пряма паралельна початковій, її кутовий коефіцієнт також дорівнює $k=2$. Отже, рівняння шуканої прямої має вигляд:
$y=2x+b\text{або}2x-y+b^{\prime }=0$

Виберемо на даній прямій будь-яку зручну точку. Нехай $x=0$, тоді $y=2\cdot 0+5=5$. Тобто точка $A(0;5)$ належить початковій прямій.

1. Симетрія відносно початку координат $(0;0)$:

При центральній симетрії відносно початку координат точка з координатами $(x;y)$ переходить у точку $(-x;-y)$.

Знайдемо образ точки $A(0;5)$:
$A^{\prime }(0;-5)$

Оскільки точка $A^{\prime }(0;-5)$ належить шуканій прямій, підставимо її координати в рівняння $y=2x+b$:
$-5=2\cdot 0+b⟹b=-5$

Запишемо рівняння прямої:
$y=2x-5\text{або}2x-y-5=0$

2. Симетрія відносно точки $O(1;3)$:

Нехай при симетрії відносно точки $O(1;3)$ точка $A(0;5)$ переходить у точку $A^{\prime \prime }(x^{\prime \prime };y^{\prime \prime })$.
За означенням центральної симетрії точка $O(1;3)$ є серединою відрізка $A{A}^{\prime \prime }$.

За формулами координат середини відрізка:
$\frac{0+x^{\prime \prime }}{2}=1⟹x^{\prime \prime }=2$
$\frac{5+y^{\prime \prime }}{2}=3⟹5+y^{\prime \prime }=6⟹y^{\prime \prime }=1$

Таким чином, точка $A^{\prime \prime }(2;1)$ належить шуканій прямій.
Підставимо її координати в рівняння прямої $y=2x+b$:
$1=2\cdot 2+b$
$1=4+b⟹b=-3$

Запишемо рівняння прямої:
$y=2x-3\text{або}2x-y-3=0$

Відповідь:

1) $2x-y-5=0$;

2) $2x-y-3=0$.