Завдання № 19.15. § 19. Симетрія відносно точки (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Запишіть рівняння кола, яке симетричне колу $(x+1{)}^2+(y-5{)}^2=9$ відносно:

1) початку координат;

2) точки $O(2;-3)$.

Покроковий розв’язок:

Рівняння кола має загальний вигляд $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$, де $(a;b)$ — координати центра, а $R$ — радіус кола.

З рівняння даного кола $(x+1{)}^2+(y-5{)}^2=9$ знаходимо:

• центр кола — точка $C(-1;5)$;
• радіус кола $R=\sqrt{9}=3$.

Центральна симетрія є рухом (переміщенням), тому вона зберігає відстані між точками. Отже, при симетрії відносно будь-якої точки коло переходить у рівне йому коло з тим самим радіусом $R=3$, а його центр переходить у точку, симетричну центру $C$.

1. Симетрія відносно початку координат

При симетрії відносно початку координат $(0;0)$ кожна точка $(x;y)$ переходить у точку $(-x;-y)$.

Тоді образ центра $C(-1;5)$ — точка $C_1$:
$x_1=-(-1)=1,y_1=-5⟹C_1(1;-5)$

Оскільки радіус залишається незмінним ($R=3$, $R^2=9$), запишемо рівняння отриманого кола:
$(x-1{)}^2+(y+5{)}^2=9$

2. Симетрія відносно точки $O(2;-3)$

Нехай точка $C_2(x_2;y_2)$ — центр шуканого кола, симетричний точці $C(-1;5)$ відносно точки $O(2;-3)$. Тоді точка $O$ є серединою відрізка $C{C}_2$.

За формулами координат середини відрізка:
$x_O=\frac{x_C+x_2}{2}\text{та}{y}_O=\frac{y_C+y_2}{2}$

Підставимо відомі координати:
$\frac{-1+x_2}{2}=2⟹-1+x_2=4⟹x_2=5$
$\frac{5+y_2}{2}=-3⟹5+y_2=-6⟹y_2=-11$

Отже, центр симетричного кола знаходиться в точці $C_2(5;-11)$, а його радіус $R=3$.

Запишемо рівняння шуканого кола:
$(x-5{)}^2+(y+11{)}^2=9$

Відповідь:

1) $(x-1{)}^2+(y+5{)}^2=9$;

2) $(x-5{)}^2+(y+11{)}^2=9$.