Завдання № 19.13. § 19. Симетрія відносно точки (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
$ABCD$ — паралелограм (мал. 19.13). Точка $E$ симетрична точці $B$ відносно точки $O$. Доведіть, що:

1) точки $C$ і $D$ симетричні відносно точки $O$;

2) точки $A$ і $E$ симетричні відносно точки $D$.

Покроковий розв’язок:

1. Доведення симетрії точок $C$ і $D$ відносно точки $O$

За означенням центральної симетрії, оскільки точка $E$ симетрична точці $B$ відносно точки $O$, точка $O$ є серединою відрізка $BE$, тобто:
$BO=OE$

Розглянемо трикутники $△BOC$ і $△EOD$:

• $BO=EO$ за умовою центральної симетрії;
• $\angle BOC=\angle EOD$ як вертикальні кути;
• $\angle CBO=\angle OED$ як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих $BC$ і $AE$ (оскільки $BC\parallel AD$, а точка $E$ лежить на продовженні сторони $AD$) та січній $BE$.

Отже, $△BOC=△EOD$ за стороною і двома прилеглими кутами (друга ознака рівності трикутників).

З рівності трикутників випливає рівність відповідних сторін:
$CO=OD$

Оскільки точка $O$ належить відрізку $CD$ і ділить його навпіл ($CO=OD$), вона є серединою відрізка $CD$. Отже, точки $C$ і $D$ є симетричними відносно точки $O$, що й треба було довести у першому пункті.

2. Доведення симетрії точок $A$ і $E$ відносно точки $D$

З рівності трикутників $△BOC=△EOD$ також випливає рівність сторін:
$DE=BC$

Оскільки чотирикутник $ABCD$ — паралелограм, його протилежні сторони рівні:
$AD=BC$

Порівнюючи ці дві рівності, отримуємо:
$AD=DE$

Оскільки точка $E$ лежить на продовженні сторони $AD$ за точку $D$, точка $D$ лежить між точками $A$ і $E$. З рівності $AD=DE$ випливає, що точка $D$ є серединою відрізка $AE$.

За означенням центральної симетрії, точки $A$ і $E$ є симетричними відносно точки $D$, що й треба було довести у другому пункті.

Відповідь:
Твердження 1) і 2) доведено.