Завдання № 19.12. § 19. Симетрія відносно точки (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
$ABCD$ — паралелограм (мал. 19.13). Точка $E$ симетрична точці $A$ відносно точки $D$. Доведіть, що:

1) точки $C$ і $D$ симетричні відносно точки $O$;

2) точки $B$ і $E$ симетричні відносно точки $O$.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз умов центральної симетрії та властивостей паралелограма
За означенням центральної симетрії, дві точки симетричні відносно деякої точки (центра симетрії), якщо ця точка є серединою відрізка, що їх сполучає.

• Оскільки точка $E$ симетрична точці $A$ відносно точки $D$, точка $D$ є серединою відрізка $AE$. Отже, точки $A$, $D$ та $E$ лежать на одній прямій, причому $AD=DE$.
• Оскільки чотирикутник $ABCD$ — паралелограм, його протилежні сторони рівні та паралельні за властивістю паралелограма:
  $BC=AD\text{та}BC\parallel AD$
• Оскільки $BC=AD$ і $AD=DE$, маємо рівність відрізків:
  $DE=BC$
• Пряма $AE$ містить сторону $AD$, тому $BC\parallel AE$.

2. Доведення рівності трикутників
Розглянемо трикутники $△OCB$ та $△ODE$:

• Сторони $BC$ і $DE$ рівні за доведеним вище:
  $BC=DE$
• Кути $\angle CBO$ та $\angle OEB$ рівні як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих $BC$ і $AE$ та січній $BE$:
  $\angle CBO=\angle OEB$
• Кути $\angle BCO$ та $\angle ODE$ рівні як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих $BC$ і $AE$ та січній $CD$:
  $\angle BCO=\angle ODE$

За другою ознакою рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими кутами):
$△OCB=△ODE$

3. Висновок про симетрію точок
З рівності трикутників $△OCB$ і $△ODE$ випливає рівність відповідних сторін:

1) $OC=OD$. Оскільки точка $O$ лежить на прямій $CD$ між точками $C$ і $D$, то $O$ є серединою відрізка $CD$. Отже, точки $C$ і $D$ симетричні відносно точки $O$.

2) $OB=OE$. Оскільки точка $O$ лежить на прямій $BE$ між точками $B$ і $E$, то $O$ є серединою відрізка $BE$. Отже, точки $B$ і $E$ симетричні відносно точки $O$.

Відповідь:
Доведено. Точка $O$ є серединою відрізків $CD$ і $BE$, тому точки $C$ і $D$, а також точки $B$ і $E$ є симетричними відносно точки $O$.