Завдання № 19.11. § 19. Симетрія відносно точки (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи має центр симетрії:

1) відрізок;

2) промінь;

3) пряма;

4) коло?

Якщо так, то вкажіть центр симетрії.

Покроковий розв’язок:

Фігура має центр симетрії (точку $O$), якщо в результаті симетрії відносно точки $O$ кожна точка цієї фігури переходить у точку цієї самої фігури.

1. Відрізок
Нехай дано відрізок $AB$, а точка $O$ — його середина. Для будь-якої точки $X$, що належить відрізку $AB$, симетрична їй точка $X^{\prime }$ відносно точки $O$ також належить відрізку $AB$ (зокрема, кінці відрізка $A$ та $B$ відображаються один в один).
Отже, відрізок має центр симетрії — це середина даного відрізка.

2. Промінь
Нехай промінь має початок у точці $A$. Якщо припустити існування деякого центра симетрії $O$, то точка, симетрична початковій точці $A$ відносно $O$, повинна лежати на доповняльній прямій по інший бік від $A$, тобто поза межами променя.
Отже, промінь не має центра симетрії.

3. Пряма
Якщо обрати будь-яку точку $O$ на прямій, то для будь-якої точки $X$ цієї прямої симетрична точка $X^{\prime }$ лежатиме на цій самій прямій на такій самій відстані від точки $O$ ($OX=O{X}^{\prime }$).
Отже, пряма має нескінченно багато центрів симетрії — будь-яка точка цієї прямої є її центром симетрії.

4. Коло
Нехай точка $O$ — центр кола радіуса $R$. Для будь-якої точки $X$, що належить колу ($OX=R$), симетрична їй точка $X^{\prime }$ відносно $O$ лежить на прямій $OX$ так, що $O{X}^{\prime }=OX=R$. Отже, точка $X^{\prime }$ також належить даному колу (відрізок $X{X}^{\prime }$ є діаметром).
Отже, коло має центр симетрії — це центр даного кола.

Відповідь:

1) Так, центр симетрії — середина відрізка;

2) ні;

3) так, центр симетрії — будь-яка точка цієї прямої;

4) так, центр симетрії — центр кола.