Завдання № 18. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Побудуйте відрізок, серединою якого є дана точка, а кінці лежать на двох даних прямих, що перетинаються.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано дві прямі $a$ і $b$, які перетинаються, та точку $O$, що не належить жодній із них (якщо точка $O$ є точкою перетину прямих або лежить на одній із них, розв’язок або тривіальний — вироджується в точку, або задача не має розв’язку з кінцями на різних прямих). Необхідно побудувати відрізок $P{P}^{\prime }$ такий, що $P\in a$, $P^{\prime }\in b$, а точка $O$ є серединою відрізка $P{P}^{\prime }$.

1. Аналіз задачі
Оскільки точка $O$ має бути серединою шуканого відрізка $P{P}^{\prime }$, то точки $P$ і $P^{\prime }$ є симетричними відносно центра $O$.
Звідси випливає: якщо точка $P$ лежить на прямій $a$, то симетрична їй точка $P^{\prime }$ обов’язково повинна лежати на прямій $a^{\prime }$, яка є образом прямої $a$ при центральній симетрії відносно точки $O$.
Водночас за умовою точка $P^{\prime }$ має належати прямій $b$. Отже, точка $P^{\prime }$ є точкою перетину прямої $b$ і прямої $a^{\prime }$.

2. План побудови

1) На прямій $a$ оберемо дві довільні точки $M$ і $K$.

2) Побудуємо точки $M^{\prime }$ та $K^{\prime }$, симетричні точкам $M$ і $K$ відносно точки $O$:

• для цього проведемо промені $MO$ та $KO$;
• відкладемо відрізки $O{M}^{\prime }=OM$ та $O{K}^{\prime }=OK$.

3) Через отримані точки $M^{\prime }$ і $K^{\prime }$ проведемо пряму $a^{\prime }$ (пряма $a^{\prime }$ симетрична прямій $a$ відносно точки $O$, отже, $a^{\prime }\parallel a$).

4) Знайдемо точку перетину прямої $a^{\prime }$ з прямою $b$ і позначимо її через $P^{\prime }$.

5) Проведемо пряму через точки $P^{\prime }$ і $O$. Вона перетне пряму $a$ в точці $P$.

6) Відрізок $P{P}^{\prime }$ — шуканий.

3. Доведення
За побудовою, пряма $a^{\prime }$ симетрична прямій $a$ відносно центра $O$. Оскільки точка $P^{\prime }$ належить прямій $a^{\prime }$, то точка $P$, яка симетрична точці $P^{\prime }$ відносно $O$, лежить на прямій $a$.
Точка $P^{\prime }$ за побудовою належить прямій $b$. Точка $O$ лежить на відрізку $P{P}^{\prime }$ і ділить його навпіл: $PO=O{P}^{\prime }$.
Таким чином, кінці відрізка $P{P}^{\prime }$ лежать на даних прямих ($P\in a$, $P^{\prime }\in b$), а точка $O$ є його серединою.

Відповідь:
Побудовано відрізок $P{P}^{\prime }$, кінці якого лежать на даних прямих ($P\in a$, $P^{\prime }\in b$), а точка $O$ є його серединою ($PO=O{P}^{\prime }$). Задача має єдиний розв’язок, оскільки прямі $a$ і $b$ перетинаються, а пряма $a^{\prime }\parallel a$ перетинає пряму $b$ в єдиній точці $P^{\prime }$.