Завдання № 18. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що сума квадратів відстаней від довільної точки кола до вершин вписаного в нього квадрата є величиною сталою. Знайдіть цю величину, якщо радіус кола дорівнює $R$.

Покроковий розв’язок:
Нехай $ABCD$ — квадрат, вписаний у коло із центром у точці $O$ та радіусом $R$, а $K$ — довільна точка на цьому колі.

Знайдемо суму квадратів відстаней від точки $K$ до вершин квадрата:
$K{A}^2+K{B}^2+K{C}^2+K{D}^2$

1. Властивості діагоналей вписаного квадрата
Діагоналі квадрата $AC$ і $BD$ проходять через центр описаного кола $O$ і є його діаметрами:
$AC=BD=2R$

2. Розгляд трикутників, утворених діаметрами
Оскільки кут, що спирається на діаметр кола, є прямим:

• у $△AKC$ кут $\angle AKC$ спирається на діаметр $AC$, тому $\angle AKC=90^{\circ }$, тобто $△AKC$ прямокутний;
• у $△BKD$ кут $\angle BKD$ спирається на діаметр $BD$, тому $\angle BKD=90^{\circ }$, тобто $△BKD$ прямокутний.

3. Застосування теореми Піфагора
За теоремою Піфагора для прямокутних трикутників $△AKC$ та $△BKD$:

• з $△AKC$:
  $K{A}^2+K{C}^2=A{C}^2$
• з $△BKD$:
  $K{B}^2+K{D}^2=B{D}^2$

4. Обчислення загальної суми
Додамо отримані рівності:
$K{A}^2+K{B}^2+K{C}^2+K{D}^2=(K{A}^2+K{C}^2)+(K{B}^2+K{D}^2)=A{C}^2+B{D}^2$

Підставимо значення діаметрів $AC=2R$ та $BD=2R$:
$A{C}^2+B{D}^2=(2R{)}^2+(2R{)}^2=4R^2+4R^2=8R^2$

Отримане значення $8R^2$ залежить виключно від радіуса кола $R$ і не залежить від вибору положення точки $K$ на колі. Отже, сума квадратів відстаней є величиною сталою.

Відповідь:
$8R^2$