Завдання № 18. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Доведіть, що в будь-якому трикутнику відношення суми квадратів сторін до суми квадратів медіан дорівнює $\frac{4}{3}$ .

Покроковий розв’язок:

Нехай у довільному трикутнику сторони дорівнюють $a$ , $b$ , $c$ , а відповідні медіани, проведені до цих сторін, — $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ .

1. Вираження квадратів довжин медіан

За теоремою про властивість діагоналей паралелограма (сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін), якщо добудувати трикутник до паралелограма, одержимо формулу для довжини медіани:

(2 \cdot m_{a})^{2} + a^{2} = 2 \cdot (b^{2} + c^{2})

Розкриємо дужки та виразимо $m_{a}^{2}$ :

4 \cdot m_{a}^{2} + a^{2} = 2 \cdot b^{2} + 2 \cdot c^{2} ⟹ 4 \cdot m_{a}^{2} = 2 \cdot b^{2} + 2 \cdot c^{2} - a^{2}

m_{a}^{2} = \frac{2 \cdot b ^{2} + 2 \cdot c ^{2} - a ^{2}}{4}

Аналогічно запишемо вирази для квадратів інших двох медіан $m_{b}$ та $m_{c}$ :

m_{b}^{2} = \frac{2 \cdot a ^{2} + 2 \cdot c ^{2} - b ^{2}}{4}

m_{c}^{2} = \frac{2 \cdot a ^{2} + 2 \cdot b ^{2} - c ^{2}}{4}

2. Додавання квадратів медіан

Знайдемо суму квадратів усіх трьох медіан:

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{2 \cdot b ^{2} + 2 \cdot c ^{2} - a ^{2}}{4} + \frac{2 \cdot a ^{2} + 2 \cdot c ^{2} - b ^{2}}{4} + \frac{2 \cdot a ^{2} + 2 \cdot b ^{2} - c ^{2}}{4} = \frac{( 2 \cdot b ^{2} + 2 \cdot c ^{2} - a ^{2} ) + ( 2 \cdot a ^{2} + 2 \cdot c ^{2} - b ^{2} ) + ( 2 \cdot a ^{2} + 2 \cdot b ^{2} - c ^{2} )}{4}

Зведемо подібні доданки в чисельнику:

Для $a^{2}$ : $- a^{2} + 2 \cdot a^{2} + 2 \cdot a^{2} = 3 \cdot a^{2}$
Для $b^{2}$ : $2 \cdot b^{2} - b^{2} + 2 \cdot b^{2} = 3 \cdot b^{2}$
Для $c^{2}$ : $2 \cdot c^{2} + 2 \cdot c^{2} - c^{2} = 3 \cdot c^{2}$

Отримуємо:

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3 \cdot a ^{2} + 3 \cdot b ^{2} + 3 \cdot c ^{2}}{4} = \frac{3 \cdot ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} )}{4}

3. Знаходження відношення

Складемо шукане відношення суми квадратів сторін трикутника до суми квадратів його медіан:

\frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{m _{a}^{2} + m _{b}^{2} + m _{c}^{2}} = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{\frac{3 \cdot ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} )}{4}} = \frac{4 \cdot ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} )}{3 \cdot ( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} )} = \frac{4}{3}

Твердження повністю доведено.

Відповідь: Доведено, $\frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{m _{a}^{2} + m _{b}^{2} + m _{c}^{2}} = \frac{4}{3}$ .

Завдання № 18. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку