Завдання № 18. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано три вершини $A(2;-3)$, $B(4;-7)$ і $C(-5;3)$ паралелограма $ABCD$. Знайдіть за допомогою векторів координати вершини $D$.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична властивість векторів у паралелограмі
У паралелограмі $ABCD$ протилежні сторони попарно паралельні й рівні за довжиною: $AD\parallel BC$ та $AD=BC$.

Вектори $\overrightarrow{AD}$ та $\overrightarrow{BC}$ співнапрямлені ($\overrightarrow{AD}\uparrow \uparrow \overrightarrow{BC}$) та мають однакову довжину ($|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|$). Отже, ці вектори рівні:
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

2. Знаходження координат вектора $\overrightarrow{BC}$
Координати вектора обчислюються як різниця відповідних координат точки кінця та точки початку вектора:
$\overrightarrow{BC}=(x_C-x_B;y_C-y_B)$

Підставимо координати точок $B(4;-7)$ та $C(-5;3)$:

3. Вираження координат вектора $\overrightarrow{AD}$
Нехай шукана вершина має координати $D(x;y)$. За координатами точок $A(2;-3)$ і $D(x;y)$ запишемо координати вектора $\overrightarrow{AD}$:

4. Обчислення координат точки $D$
Оскільки вектори рівні, їхні відповідні координати також рівні:

Розв’яжемо кожне рівняння окремо:

Таким чином, координати вершини $D$ дорівнюють $(-7;7)$.

Відповідь: $D(-7;7)$