Завдання № 18. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Відомо, що $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ і $0^{\circ }\le \beta \le 180^{\circ }$. Чи можна стверджувати, що $\alpha =\beta$, якщо:

1) $\cos \alpha =\cos \beta$;

2) $\sin \alpha =\sin \beta$;

3) $\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{tg}\beta$?

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження умови $\cos \alpha =\cos \beta$
За означенням тригонометричних функцій на одиничному півколі косинус кута — це абсциса точки одиничного півкола.

При збільшенні кута від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ абсциса точки монотонно (строго) зменшується від $1$ до $-1$. Це означає, що кожному значенню косинуса з відрізка $[-1;1]$ відповідає єдина точка одиничного півкола, тобто єдине значення кута.

Отже, якщо $\cos \alpha =\cos \beta$ для кутів $0^{\circ }\le \alpha ,\beta \le 180^{\circ }$, то обов’язково $\alpha =\beta$.
Стверджувати це — можна.

2. Дослідження умови $\sin \alpha =\sin \beta$
Синус кута на одиничному півколі відповідає ординаті точки. Відомо, що для кутів із проміжку $[0^{\circ };180^{\circ }]$ виконується формульне співвідношення:

Це означає, що для будь-якого значення синуса з проміжку $(0;1)$ існують два різних кути, які мають однакову ординату (гострий та тупий, сума яких дорівнює $180^{\circ }$).

Наведемо контрприклад:

Значення синусів рівні ($\sin 30^{\circ }=\sin 150^{\circ }$), проте $30^{\circ }\ne 150^{\circ }$.
Отже, стверджувати, що $\alpha =\beta$, не можна.

3. Дослідження умови $\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{tg}\beta$
Тангенс кута визначається як відношення ординати до абсциси: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ (для $\alpha \ne 90^{\circ }$).

Перевіримо крайні значення заданого проміжку $0^{\circ }$ та $180^{\circ }$:

Маємо рівність значень: $\mathrm{tg}{0}^{\circ }=\mathrm{tg}180^{\circ }=0$, проте $0^{\circ }\ne 180^{\circ }$.
Отже, стверджувати, що $\alpha =\beta$, не можна.

Відповідь:

1) Так;

2) ні;

3) ні.