Завдання № 18. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть кут між більшою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо цей кут:

1) на $60^{\circ }$ менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони;

2) на $20^{\circ }$ менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони.

Покроковий розв’язок:

Нехай $ABCD$ — прямокутник, у якому $AD$ — більша сторона, а $AB$ — менша сторона ($AD>AB$). Діагоналі прямокутника $AC$ і $BD$ перетинаються в точці $O$.

Позначимо шуканий кут між більшою стороною і діагоналлю:
$\angle CAD=x$.

1. Властивості прямокутника та залежність кутів:

• За властивістю прямокутника його діагоналі рівні ($AC=BD$) і точкою перетину діляться навпіл:
  $AO=OC=BO=OD$
• Оскільки $AO=OD$, трикутник $△AOD$ є рівнобедреним з основою $AD$. Отже, кути при основі рівні:
  $\angle ODA=\angle OAD=\angle CAD=x$
• За теоремою про суму кутів трикутника в $△AOD$, кут між діагоналями, який лежить проти більшої сторони $AD$:
  $\angle AOD=180^{\circ }-(\angle OAD+\angle ODA)=180^{\circ }-2x$
• Кут $\angle AOB$, який лежить проти меншої сторони $AB$, є суміжним із кутом $\angle AOD$:
  $\angle AOB=180^{\circ }-\angle AOD=180^{\circ }-(180^{\circ }-2x)=2x$
  (або як зовнішній кут трикутника $△AOD$ при вершині $O$).

2. Розв’язання випадку 1:
Кут $x$ на $60^{\circ }$ менший від кута між діагоналями, що лежить проти більшої сторони (тобто від $\angle AOD$):
$x=\angle AOD-60^{\circ }$
$x=(180^{\circ }-2x)-60^{\circ }$
$x=120^{\circ }-2x$
$3x=120^{\circ }$
$x=\frac{120^{\circ }}{3}=40^{\circ }$

3. Розв’язання випадку 2:
Кут $x$ на $20^{\circ }$ менший від кута між діагоналями, що лежить проти меншої сторони (тобто від $\angle AOB$):
$x=\angle AOB-20^{\circ }$
$x=2x-20^{\circ }$
$2x-x=20^{\circ }$
$x=20^{\circ }$

Відповідь:

1) $40^{\circ }$;

2) $20^{\circ }$.