Завдання № 18.9. § 18. Переміщення (рух) та його властивості. Рівність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано два кола зі спільним центром $O$. Кожній точці $X$ першого кола відповідає точка $X^{\prime }$ другого кола, яка лежить на промені $OX$. Чи є ця відповідність між точками двох кіл перетворенням?

Покроковий розв’язок:

1. Означення перетворення фігури
За означенням, відповідність між фігурами $F$ і $F^{\prime }$ називають геометричним перетворенням фігури $F$ у фігуру $F^{\prime }$, якщо виконуються такі умови:

• Кожній точці фігури $F$ поставлено у відповідність єдину точку фігури $F^{\prime }$.
• Кожна точка фігури $F^{\prime }$ є образом деякої точки фігури $F$ (тобто має свій прообраз).
• Різним точкам фігури $F$ відповідають різні точки фігури $F^{\prime }$.

Іншими словами, між множиною точок фігури $F$ та множиною точок фігури $F^{\prime }$ має існувати взаємно однозначна відповідність (бієкція).

2. Перевірка виконання умов для кіл зі спільним центром
Нехай перше коло має радіус $R_1$, а друге — радіус $R_2$. Обидва кола мають спільний центр $O$.

• Існування та єдиність образу:
  Будь-який промінь із початком у центрі кола перетинає це коло рівно в одній точці. Отже, для будь-якої точки $X$ першого кола промінь $OX$ перетинає друге коло в єдиній точці $X^{\prime }$. Кожна точка $X$ першого кола має єдиний образ $X^{\prime }$ на другому колі.

• Наявність прообразу:
  Візьмемо довільну точку $X^{\prime }$ другого кола. Промінь $O{X}^{\prime }$ має початок у центрі $O$ і перетинає перше коло рівно в одній точці $X$. Таким чином, кожна точка $X^{\prime }$ другого кола є образом відповідної точки $X$ першого кола.

• Відповідність різних точок:
  Якщо взяти дві різні точки $X_1$ та $X_2$ на першому колі ($X_1\ne X_2$), то промені $O{X}_1$ та $O{X}_2$ не збігаються. Оскільки різні промені з початком у центрі $O$ перетинають друге коло в різних точках, їхні образи $X_1^{\prime }$ та $X_2^{\prime }$ також будуть різними точками ($X_1^{\prime }\ne X_2^{\prime }$).

Оскільки всі три умови виконуються, дана відповідність є взаємно однозначною (вона являє собою гомотетію із центром $O$ та коефіцієнтом $k=\frac{R_2}{R_1}$). Отже, ця відповідність є геометричним перетворенням одного кола в інше.

Відповідь:
Так, ця відповідність є перетворенням.