Завдання № 18.8. § 18. Переміщення (рух) та його властивості. Рівність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

$KLMN$ — ромб. Чи існує переміщення, за якого:

1) сторона $KL$ переходить у сторону $KN$;

2) кут $KLN$ переходить у кут $MNL$?

Покроковий розв’язок:

1. Перехід сторони $KL$ у сторону $KN$

Переміщення (рух) — це геометричне перетворення, яке зберігає відстані між точками. Будь-які два рівні відрізки можна перевести один в один за допомогою деякого переміщення.

За означенням ромба, всі його сторони рівні між собою:
$KL=LM=MN=KN$

Отже, довжини відрізків $KL$ та $KN$ однакові ($KL=KN$).

Оскільки діагональ ромба є бісектрисою його кута, промінь $KM$ ділить кут $\angle LKN$ навпіл, а сама пряма $KM$ є віссю симетрії ромба:

• вершина $K$ лежить на осі симетрії $KM$, тому відображається сама в себе: $K\to K$;
• вершина $L$ при осьовій симетрії відносно прямої $KM$ переходить у вершину $N$: $L\to N$.

Оскільки осьова симетрія є переміщенням, відрізок $KL$ відображається у відрізок $KN$. Отже, таке переміщення існує.

2. Перехід кута $KLN$ у кут $MNL$

Переміщення переводить будь-яку фігуру в рівну їй фігуру (зокрема, кут — у рівний йому кут).

З’ясуємо співвідношення між кутами $\angle KLN$ та $\angle MNL$:

• сторони $KL$ і $MN$ ромба паралельні ($KL\parallel MN$);
• пряма $LN$ виступає січною для цих паралельних прямих;
• кути $\angle KLN$ та $\angle MNL$ є внутрішніми різносторонніми кутами при паралельних прямих $KL$ і $MN$ та січній $LN$, тому за властивістю паралельних прямих:
  $\angle KLN=\angle MNL$

Оскільки кути рівні, існує переміщення, яке переводить один кут в інший.

Зокрема, розглянемо центральну симетрію відносно точки $O$ — точки перетину діагоналей ромба:

• діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл, тому $KO=OM$ та $LO=ON$;
• при симетрії відносно центра $O$ вершина $K$ переходить у $M$ ($K\to M$), $L$ — у $N$ ($L\to N$), а $N$ — у $L$ ($N\to L$);
• промінь $LK$ переходить у промінь $NM$, а промінь $LN$ — у промінь $NL$.

Таким чином, кут $\angle KLN$ переходить у кут $\angle MNL$. Оскільки центральна симетрія є переміщенням, таке перетворення існує.

Відповідь:

1) Існує;

2) існує.