Завдання № 18.7. § 18. Переміщення (рух) та його властивості. Рівність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

$ABCD$ — паралелограм. Чи існує переміщення, за якого:

1) сторона $AB$ переходить у сторону $CD$;

2) кут $BAD$ переходить у кут $BCD$?

Покроковий розв’язок:

Переміщенням (рухом) називають перетворення фігури, яке зберігає відстані між точками. Основними властивостями переміщення є збереження прямолінійності (пряма переходить у пряму, відрізок — у рівний йому відрізок) та збереження величин кутів. Відповідно, будь-які дві рівні фігури (зокрема рівні відрізки або рівні кути) можна сумістити за допомогою деякого переміщення.

Розглянемо паралелограм $ABCD$, у якому діагоналі $AC$ і $BD$ перетинаються в точці $O$.

1. Дослідження можливості переходу сторони $AB$ у сторону $CD$

За властивістю протилежних сторін паралелограма:
$AB=CD$

Оскільки довжини цих відрізків рівні, існує переміщення, яке переводить відрізок $AB$ у відрізок $CD$.

Зокрема, за властивістю паралелограма його діагоналі точкою перетину $O$ діляться навпіл:
$AO=OC,BO=OD$

Розглянемо центральну симетрію відносно точки $O$:

• при центральній симетрії із центром $O$ точка $A$ переходить у точку $C$;
• точка $B$ переходить у точку $D$.

Отже, відрізок $AB$ переходить у відрізок $CD$. Таке переміщення існує (також цим переміщенням є, наприклад, паралельне перенесення на вектор $\overrightarrow{AD}$ або $\overrightarrow{BC}$, яке суміщає відрізок $AB$ із відрізком $DC$).

2. Дослідження можливості переходу кута $BAD$ у кут $BCD$

За властивістю протилежних кутів паралелограма:
$\angle BAD=\angle BCD$

Оскільки кути рівні за градусною мірою, існує переміщення, яке переводить один кут в інший.

При центральній симетрії відносно точки перетину діагоналей $O$:

• вершина кута $A$ переходить у вершину $C$;
• промінь $AB$ переходить у протилежно напрямлений промінь $CD$;
• промінь $AD$ переходить у протилежно напрямлений промінь $CB$.

Таким чином, кут $BAD$ переходить у кут $DCB$, тобто в кут $BCD$. Таке переміщення існує.

Відповідь:

1) Існує;

2) існує.