Завдання № 18.20. § 18. Переміщення (рух) та його властивості. Рівність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У правильному п’ятикутнику $ABCDE$ діагоналі $AD$ і $BE$ перетинаються в точці $O$. Знайдіть кут $DOE$.

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення величини внутрішнього кута правильного п’ятикутника

Сума кутів опуклого $n$-кутника визначається за формулою:
$S_n=180^{\circ }\cdot (n-2)$

Для правильного п’ятикутника ($n=5$):
$S_5=180^{\circ }\cdot (5-2)=180^{\circ }\cdot 3=540^{\circ }$

Оскільки в правильному п’ятикутнику всі внутрішні кути рівні між собою, градусна міра кожного кута становить:
$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E=\frac{540^{\circ }}{5}=108^{\circ }$

2. Знаходження кутів у рівнобедрених трикутниках

Розглянемо $△AED$. Оскільки $ABCDE$ — правильний п’ятикутник, його сторони рівні: $AE=ED$. Отже, $△AED$ — рівнобедрений з основою $AD$.

Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні:
$\angle EAD=\angle EDA=\frac{180^{\circ }-\angle AED}{2}=\frac{180^{\circ }-108^{\circ }}{2}=\frac{72^{\circ }}{2}=36^{\circ }$

Аналогічно розглянемо $△ABE$. У ньому $AB=AE$, отже, $△ABE$ є рівнобедреним з основою $BE$:
$\angle ABE=\angle AEB=\frac{180^{\circ }-\angle BAE}{2}=\frac{180^{\circ }-108^{\circ }}{2}=36^{\circ }$

3. Знаходження кута $DOE$

Розглянемо $△AEO$:

• $\angle EAO=\angle EAD=36^{\circ }$;
• $\angle AEO=\angle AEB=36^{\circ }$.

Кут $\angle DOE$ є зовнішнім кутом для $△AEO$ при вершині $O$, оскільки промінь $OD$ є доповняльним до променя $OA$ (точки $A$, $O$, $D$ лежать на одній прямій).

За теоремою про зовнішній кут трикутника, він дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним:
$\angle DOE=\angle EAO+\angle AEO=36^{\circ }+36^{\circ }=72^{\circ }$

(Також можна знайти $\angle AOE=180^{\circ }-(36^{\circ }+36^{\circ })=108^{\circ }$, після чого за властивістю суміжних кутів: $\angle DOE=180^{\circ }-108^{\circ }=72^{\circ }$).

Відповідь:
$72^{\circ }$