Завдання № 18.19. § 18. Переміщення (рух) та його властивості. Рівність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Два кола з радіусами $4\text{ см}$ і $9\text{ см}$ мають зовнішній дотик. Спільна зовнішня дотична дотикається до кіл у точках $A$ і $B$. Знайдіть $AB$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення відстані між центрами кіл

Нехай точка $O$ — центр кола меншого радіуса $r=4\text{ см}$, а точка $O_1$ — центр кола більшого радіуса $R=9\text{ см}$.

Оскільки кола мають зовнішній дотик, лінія їхніх центрів проходить через точку дотику, а відстань між їхніми центрами дорівнює сумі їхніх радіусів:
$O{O}_1=r+R=4+9=13\text{ см}$

2. Аналіз чотирикутника $AB{O}_{1}O$

За властивістю дотичної до кола, радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до цієї дотичної:

• $OA\perp AB$
• $O_{1}B\perp AB$

Два перпендикуляри до однієї прямої є паралельними між собою ($OA\parallel O_{1}B$), отже, чотирикутник $AB{O}_{1}O$ є прямокутною трапецією з основами $OA$ та $O_{1}B$.

3. Додаткова побудова та властивості фігури

Проведемо з центра меншого кола перпендикуляр $OK$ до радіуса $O_{1}B$ ($K\in O_{1}B$):
$OK\perp O_{1}B$

Чотирикутник $ABKO$ має три прямі кути ($\angle A=\angle B=\angle K=90^{\circ }$), отже, він є прямокутником. Звідси випливає:
$BK=OA=4\text{ см}$
$OK=AB$

Знайдемо довжину відрізка $O_{1}K$:
$O_{1}K=O_{1}B-BK=9-4=5\text{ см}$

4. Обчислення довжини $AB$

Розглянемо прямокутний трикутник $△OK{O}_1$ ($\angle OK{O}_1=90^{\circ }$).

За теоремою Піфагора:
$O{O}_1^2=O{K}^2+O_1{K}^2$

Звідси виразимо невідомий катет $OK$:
$OK=\sqrt{O{O}_1^2-O_1{K}^2}$

Підставимо відомі числові значення:
$OK=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}$

Оскільки $AB=OK$, шуканий відрізок дорівнює $12\text{ см}$.

Відповідь: $12\text{ см}$