Завдання № 18.18. § 18. Переміщення (рух) та його властивості. Рівність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Одна зі сторін трикутника дорівнює $7\text{ см}$, дві інші утворюють кут $60^{\circ }$, а їхня різниця дорівнює $3\text{ см}$. Знайдіть площу трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної та геометричні співвідношення

Позначимо меншу з двох невідомих сторін трикутника через $x\text{ см}$ ($x>0$). Оскільки різниця цих сторін становить $3\text{ см}$, друга сторона дорівнює $(x+3)\text{ см}$.

Кут між цими сторонами дорівнює $60^{\circ }$, а сторона, що лежить навпроти цього кута, має довжину $7\text{ см}$.

2. Знаходження невідомих сторін за теоремою косинусів

За теоремою косинусів квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними:
$7^2=x^2+(x+3{)}^2-2\cdot x\cdot (x+3)\cdot \cos 60^{\circ }$

Оскільки $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, підставимо це значення та спростимо вираз:
$49=x^2+(x^2+6\cdot x+9)-2\cdot x\cdot (x+3)\cdot \frac{1}{2}$
$49=2\cdot x^2+6\cdot x+9-x\cdot (x+3)$
$49=2\cdot x^2+6\cdot x+9-x^2-3\cdot x$
$x^2+3\cdot x+9=49$
$x^2+3\cdot x-40=0$

Розв’яжемо квадратне рівняння за допомогою теореми Вієта або через дискримінант:
$D=3^2-4\cdot 1\cdot (-40)=9+160=169=13^2$
$x_1=\frac{-3+13}{2}=5$
$x_2=\frac{-3-13}{2}=-8$

Корінь $x_2=-8$ не задовольняє геометричний зміст задачі, оскільки довжина сторони трикутника має бути додатним числом ($x>0$).

Отже, $x=5\text{ см}$, а друга сторона дорівнює:
$x+3=5+3=8\text{ см}$

3. Обчислення площі трикутника

Площу трикутника обчислюємо за формулою половини добутку двох сторін на синус кута між ними:
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma$

Підставимо знайдені значення сторін та кута:
$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin 60^{\circ }$

Враховуючи, що $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:
$S=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Відповідь: $10\sqrt{3}{\text{ см}}^2$