Завдання № 18.15. § 18. Переміщення (рух) та його властивості. Рівність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Розділіть фігуру (мал. 18.6) на дві рівні частини.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз геометричної форми фігури

Приймемо сторону однієї клітинки сітки за одиничний відрізок ($1\text{ од.}$), а площу однієї клітинки — за $1{\text{ од.}}^2$.

Розглянемо розміри елементів фігури за вузлами сітки:

• Нижня основа має довжину $5\text{ клітинок}$;
• Ліва вертикальна сторона дорівнює $3\text{ клітинкам}$;
• Лівий спадний скос є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами $2$ та $2$, тому його довжина становить $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$;
• Горизонтальне заглиблення має довжину $1\text{ клітинка}$;
• Внутрішній вертикальний підйом дорівнює $2\text{ клітинкам}$;
• Правий скос також має довжину $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$;
• Права вертикальна сторона дорівнює $1\text{ клітинці}$.

Загальна площа даної фігури складається з площі нижньої суцільної смуги та двох верхніх трикутних «виступів»:
$S=(5\cdot 1)+\left(\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\right)+\left(\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\right)+(1\cdot 1)=5+2+2+1=10{\text{ од.}}^2$

Отже, кожна з двох шуканих рівних частин повинна мати площу:
$S_1=S_2=\frac{10}{2}=5{\text{ од.}}^2$

2. Визначення лінії поділу

Для поділу многокутника на дві конгруентні (рівні) фігури проведемо прямолінійний розріз від точки $M$ на нижній основі (на відстані $2$ клітинки від лівого кута і $3$ клітинки від правого кута) до внутрішньої вершини заглиблення $D$.

Цей відрізок $MD$ є діагоналлю однієї клітинки розміром $1\cdot 1$, а його довжина дорівнює:
$MD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

3. Доведення рівності утворених частин

У результаті розрізу утворилися два п’ятикутники: $ABCDM$ та $MDEFA$:

1) Сторони лівого п’ятикутника $ABCDM$:

• $AB=3\text{ од.}$
• $BC=2\sqrt{2}\text{ од.}$
• $CD=1\text{ од.}$
• $DM=\sqrt{2}\text{ од.}$ (лінія розрізу)
• $MA=2\text{ од.}$

2) Сторони правого п’ятикутника $GMDEF$:

• $GM=3\text{ од.}$
• $MD=\sqrt{2}\text{ од.}$ (лінія розрізу)
• $DE=2\text{ од.}$
• $EF=2\sqrt{2}\text{ од.}$
• $FG=1\text{ од.}$

Обидва п’ятикутники мають однаковий набір довжин сторін: $3$, $2\sqrt{2}$, $1$, $\sqrt{2}$, $2$, а також рівні відповідні внутрішні кути.

Отже, існує геометричне перетворення (рух, що містить осьову симетрію), яке переводить одну фігуру в іншу. Це доводить, що отримані частини є рівними.

Відповідь: фігуру поділено на дві рівні частини відрізком, що сполучає внутрішню вершину заглиблення з точкою на нижній основі, розташованою на відстані $2\text{ клітинки}$ від лівого кута (діагональ клітинки $1\cdot 1$).