Завдання № 18.14. § 18. Переміщення (рух) та його властивості. Рівність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи існує переміщення, яке переводить коло $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ у коло $x^2+y^2+8x=0$?

Покроковий розв’язок:

1. Теоретична основа
Переміщення (рух) — це геометричне перетворення площини, яке зберігає відстань між будь-якими двома точками. Із цієї властивості випливає, що під час переміщення будь-яка фігура відображається на рівну їй фігуру. Зокрема, коло радіуса $R$ за будь-якого переміщення переходить у коло такого самого радіуса $R$.

Канонічне рівняння кола з центром у точці $(a;b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

Щоб з’ясувати, чи існує шукане переміщення, знайдемо радіуси обох заданих кіл, виділивши повні квадрати.

2. Визначення радіуса першого кола
Задано рівняння:
$x^2+y^2-4x+2y-4=0$

Згрупуємо доданки зі змінними $x$ та $y$:
$(x^2-4x)+(y^2+2y)-4=0$

Доповнимо вирази в дужках до повних квадратів, додавши та віднявши відповідні числа:
$\left(x^2-2\cdot 2x+4-4\right)+\left(y^2+2\cdot 1y+1-1\right)-4=0$
$(x-2{)}^2-4+(y+1{)}^2-1-4=0$
$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2-9=0$
$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$

Оскільки $R_1^2=9$, радіус першого кола дорівнює:
$R_1=\sqrt{9}=3$
(Центр кола — точка $O_1(2;-1)$).

3. Визначення радіуса другого кола
Задано рівняння:
$x^2+y^2+8x=0$

Згрупуємо доданки та виділимо повний квадрат за змінною $x$:
$(x^2+8x)+y^2=0$
$\left(x^2+2\cdot 4x+16-16\right)+y^2=0$
$(x+4{)}^2-16+y^2=0$
$(x+4{)}^2+y^2=16$

Оскільки $R_2^2=16$, радіус другого кола дорівнює:
$R_2=\sqrt{16}=4$
(Центр кола — точка $O_2(-4;0)$).

4. Висновок
Оскільки $R_1=3$, а $R_2=4$, то $R_1\ne R_2$. Радіуси кіл є різними, тому кола не є рівними. Отже, не існує переміщення, яке переводить одне з цих кіл в інше.

Відповідь:
Не існує.