Завдання № 18.13. § 18. Переміщення (рух) та його властивості. Рівність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи існує переміщення, яке переводить коло $x^2+y^2-2x-4y-11=0$ у коло $x^2+y^2+6x-2y-6=0$?

Покроковий розв’язок:

1. Зведення рівняння першого кола до канонічного вигляду

Канонічне рівняння кола з центром у точці $(a;b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

Виділимо повні квадрати за змінними $x$ та $y$ для першого рівняння:
$x^2+y^2-2x-4y-11=0$
$(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)=11+1+4$
$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=16$

Звідси центр першого кола — точка $O_1(1;2)$, а його радіус:
$R_1=\sqrt{16}=4$

2. Зведення рівняння другого кола до канонічного вигляду

Виділимо повні квадрати для другого рівняння:
$x^2+y^2+6x-2y-6=0$
$(x^2+6x+9)+(y^2-2y+1)=6+9+1$
$(x+3{)}^2+(y-1{)}^2=16$

Звідси центр другого кола — точка $O_2(-3;1)$, а його радіус:
$R_2=\sqrt{16}=4$

3. Геометричне обґрунтування існування переміщення

За означенням, переміщення (рух) — це перетворення площини, яке зберігає відстань між точками. Образом кола радіуса $R$ при будь-якому переміщенні є коло того самого радіуса $R$.

Оскільки радіуси обох кіл є рівними ($R_1=R_2=4$), ці кола є рівними геометричними фігурами. Будь-які два рівні кола можна сумістити за допомогою паралельного перенесення (яке є окремим випадком переміщення) на вектор $\overrightarrow{O_1{O}_2}$, що сполучає їхні центри:
$\overrightarrow{O_1{O}_2}=(-3-1;1-2)=(-4;-1)$

Отже, таке переміщення існує.

Відповідь:
Так, існує.