Завдання № 18.10. § 18. Переміщення (рух) та його властивості. Рівність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Коло із центром у точці $O$ вписано у квадрат. Кожній точці $X$ кола відповідає точка $X^{\prime }$ квадрата, яка лежить на промені $OX$. Чи буде ця відповідність між точками кола і квадрата перетворенням?

Покроковий розв’язок:

1. Означення геометричного перетворення
Згідно з курсом геометрії 9 класу, відповідність між фігурами $F$ і $F_1$ називають перетворенням фігури $F$ у фігуру $F_1$, якщо:

• кожній точці фігури $F$ відповідає єдина точка фігури $F_1$;
• кожна точка фігури $F_1$ є образом деякої (прообразом) точки фігури $F$;
• різним точкам фігури $F$ відповідають різні точки фігури $F_1$.

Тобто перетворення є взаємно однозначною відповідністю (бієкцією) між множиною точок однієї фігури та множиною точок іншої.

2. Перевірка умов перетворення для заданої відповідності

• Однозначність образу: Точка $O$ є спільним центром вписаного кола і квадрата (точкою перетину його діагоналей). Будь-яка точка $X$, яка лежить на колі, разом із центром $O$ задає єдиний промінь $OX$. Оскільки квадрат є опуклим многокутником, а точка $O$ лежить у його внутрішній області, промінь $OX$ перетинає контур (сторони) квадрата в єдиній точці $X^{\prime }$. Отже, кожній точці кола відповідає рівно одна точка квадрата.
• Різні образи для різних точок: Якщо обрати дві різні точки $X_1$ та $X_2$ кола ($X_1\ne X_2$), то промені $O{X}_1$ та $O{X}_2$ не збігатимуться. Відповідно, вони перетнуть сторони квадрата в різних точках: $X_1^{\prime }\ne X_2^{\prime }$.
• Наявність прообразу для кожної точки: Нехай $X^{\prime }$ — довільна точка квадрата. Оскільки вона не збігається з точкою $O$, вона визначає промінь $O{X}^{\prime }$. Цей промінь виходить із центра кола $O$ і перетинає коло радіуса $R$ в єдиній точці $X$. Таким чином, кожна точка квадрата є образом деякої точки кола.

3. Висновок
Задане правило встановлює взаємно однозначну відповідність між точками вписаного кола і точками квадрата. Отже, ця відповідність є геометричним перетворенням.

Відповідь: Так, ця відповідність буде перетворенням.