Завдання № 17. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

З точки $A (1; 6)$ до кола $x^{2} + y^{2} + 2 x - 19 = 0$ проведено дотичні. Складіть рівняння цих дотичних.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення центра та радіуса кола

Зведемо задане рівняння кола до канонічного вигляду $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ , виділивши повний квадрат для змінної $x$ :
$x^{2} + 2 x + y^{2} - 19 = 0$
$(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1) - 1 + y^{2} - 19 = 0$
$(x + 1)^{2} + y^{2} = 20$

Звідси центр кола знаходиться в точці $O (- 1; 0)$ , а квадрат радіуса дорівнює $R^{2} = 20$ (радіус $R = 20 = 25$ ).

2. Знаходження відстані від точки до точок дотику

Нехай $K (x; y)$ — точка дотику прямої, що проходить через точку $A (1; 6)$ , до кола.
За властивістю дотичної до кола, радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до цієї дотичної: $O K ⊥ A K$ .

Отже, $△ O K A$ — прямокутний із прямим кутом при вершині $K$ .
Обчислимо квадрат відстані від центра кола $O (- 1; 0)$ до даної точки $A (1; 6)$ :
$O A^{2} = (1 - (- 1))^{2} + (6 - 0)^{2} = 2^{2} + 6^{2} = 4 + 36 = 40$

За теоремою Піфагора в $△ O K A$ :
$A K^{2} = O A^{2} - O K^{2} = 40 - 20 = 20$

Це означає, що шукані точки дотику $K (x; y)$ віддалені від точки $A (1; 6)$ на відстань $20$ , тобто вони також лежать на колі із центром у точці $A (1; 6)$ і радіусом $20$ .

3. Знаходження координат точок дотику

Точки дотику $K (x; y)$ належать обом колам, тому їхні координати задовольняють систему рівнянь:

{(x - 1)^{2} + (y - 6)^{2} = 20 (x + 1)^{2} + y^{2} = 20

Розкриємо дужки в обох рівняннях:

{x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} - 12 y + 36 = 20 x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} = 20

{x^{2} + y^{2} - 2 x - 12 y + 17 = 0 x^{2} + y^{2} + 2 x - 19 = 0

Віднімемо друге рівняння від першого:
$(x^{2} + y^{2} - 2 x - 12 y + 17) - (x^{2} + y^{2} + 2 x - 19) = 0$
$- 4 x - 12 y + 36 = 0$

Поділимо обидві частини рівняння на $- 4$ :
$x + 3 y - 9 = 0 ⟹ x = 9 - 3 y$

Підставимо вираз $x = 9 - 3 y$ у рівняння $(x + 1)^{2} + y^{2} = 20$ :
$(9 - 3 y + 1)^{2} + y^{2} = 20$
$(10 - 3 y)^{2} + y^{2} = 20$
$100 - 60 y + 9 y^{2} + y^{2} = 20$
$10 y^{2} - 60 y + 80 = 0$

Поділимо рівняння на $10$ :
$y^{2} - 6 y + 8 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 2, y_{2} = 4$

Обчислимо відповідні абсциси точок дотику:

Якщо $y_{1} = 2$ , то $x_{1} = 9 - 3 \cdot 2 = 3$ . Отримуємо точку $K_{1} (3; 2)$ .
Якщо $y_{2} = 4$ , то $x_{2} = 9 - 3 \cdot 4 = - 3$ . Отримуємо точку $K_{2} (- 3; 4)$ .

4. Складання рівнянь дотичних

Запишемо канонічне рівняння прямої, що проходить через дві точки:
$\frac{x - x _{A}}{x _{K} - x _{A}} = \frac{y - y _{A}}{y _{K} - y _{A}}$

1) Для дотичної $A K_{1}$ , що проходить через $A (1; 6)$ та $K_{1} (3; 2)$ :
$\frac{x - 1}{3 - 1} = \frac{y - 6}{2 - 6}$
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{- 4}$
$- 2 (x - 1) = y - 6$
$- 2 x + 2 = y - 6$
$2 x + y - 8 = 0$

2) Для дотичної $A K_{2}$ , що проходить через $A (1; 6)$ та $K_{2} (- 3; 4)$ :
$\frac{x - 1}{- 3 - 1} = \frac{y - 6}{4 - 6}$
$\frac{x - 1}{- 4} = \frac{y - 6}{- 2}$
$\frac{x - 1}{2} = y - 6$
$x - 1 = 2 (y - 6)$
$x - 1 = 2 y - 12$
$x - 2 y + 11 = 0$

Відповідь:
$2 x + y - 8 = 0$ та $x - 2 y + 11 = 0$ .

Завдання № 17. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку