Завдання № 17. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Площини $\alpha$ і $\beta$ перетинаються. Площина $\gamma$ паралельна площині $\beta$. Яке взаємне розміщення площин $\alpha$ і $\gamma$?

Покроковий розв’язок:

Взаємне розміщення площин $\alpha$ і $\gamma$ можна строго довести методом від супротивного.

1. Доведення методом від супротивного:
Припустимо, що площини $\alpha$ і $\gamma$ не перетинаються.

Оскільки в просторі дві площини або перетинаються, або є паралельними, то за нашого припущення вони мали б бути паралельними: $\alpha \parallel \gamma$.

2. Використання властивості паралельних площин:
За умовою задачі площина $\gamma$ паралельна площині $\beta$ ($\gamma \parallel \beta$).

За властивістю паралельності площин (транзитивність паралельності): якщо дві різні площини паралельні третій площині, то вони паралельні між собою.

Отже, якщо $\alpha \parallel \gamma$ та $\gamma \parallel \beta$, то звідси випливає, що $\alpha \parallel \beta$.

3. Висновок із протиріччя:
Отриманий результат $\alpha \parallel \beta$ прямо суперечить умові задачі, де зазначено, що площини $\alpha$ і $\beta$ перетинаються.

Отже, зроблене припущення є хибним. Площини $\alpha$ і $\gamma$ обов’язково перетинаються.

(Додатково за теоремою про перетин двох паралельних площин третьою: якщо площина $\alpha$ перетинає дві паралельні площини $\beta$ і $\gamma$, то прямі їх перетину $a$ і $b$ є паралельними між собою: $a\parallel b$, де $a=\alpha \cap \beta$ і $b=\alpha \cap \gamma$.)

Відповідь:

Площини $\alpha$ і $\gamma$ перетинаються.